29 avr. 2016

Evariste Galois, la théorie des groupes et la théorie de l'ambiguïté partie mathématique






1) Rappel: 
2011 est l’année du Bicentenaire de la naissance de deux héros romantiques : "Franz Liszt et Évariste Galois. "Tous deux, d’une précocité déconcertante, ont révolutionné leur domaine. Si Liszt est fêté comme un héros national en Hongrie, Galois n’est pas en reste en France — lui qui croyait que la patrie ne retiendrait pas son nom, et qui est finalement devenu l’une des gloires françaises les plus solides ! Le destin tragique de Galois, l’incroyable contraste entre la brièveté de sa vie et l’éternité de l’œuvre qu’il laisse, le fait qu’un garçon si jeune ait pu bouleverser la mathématique tout entière et la physique avec, tout cela fait rêver." Pour le bicentenaire de Galois, une conférence de Alain Connes a été organisée le 29 novembre 2011 à la mémoire de ce grand mathématicien: Galois et la théorie de l'ambiguïté à l'académie des sciences. Dans cette académie, avait déjà eu lieu une autre séance sur la théorie de l'ambiguïté le13 juin 2006 lors de la Réception des Membres élus en 2005 par Jran-Pierre Ramis, La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques.
Je lis cette conférence aujourd'hui alors qu'après avoir étudié l'électro-dynamique quantique je m'intéresse aux théories de jauge et aux théories des cordes (voir tous mes liens en fin d'article où j'ai beaucoup consulté les formations dues à Luc Marleaufeynman.phy.ulaval.ca. Cela me fait me souvenir que Galois est un jalon important dans la conquête de la science mathématisée par des grands génies tels que Galilée (considéré comme l'initiateur de la méthode scientifique, et qui, dans le domaine des mathématiques appelait de ses vœux, ce « langage décrivant la nature »  pour « l'écriture mathématique du livre de l'Univers »), puis par Newton.et EinsteinL’idée galoisienne « Il existe pour ces sortes d’équations un certain ordre de considérations métaphysiques qui planent sur les calculs et qui souvent les rendent inutiles. » « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leur difficulté et non suivant leur forme, telle est selon moi la mission des géomètres futurs. » était une intuition qui a fécondé les idées modernes de symétrie. Dans le chapitre 3-2-2 de ce site, il est écrit: "L’idée galoisienne de correspondance entre symétries d’une structure mathé-matique et treillis de ses sous-structures a essaimé dans d’autres domaines des Mathématiques. L’un des premiers et plus célèbres avatars est le « programme d’Erlangen » de Felix Klein, qui jette un pont entre Géométrie et Théorie des groupes : il s’agit de classifier les géométries de l’espace à n dimensions où le « mouvement d’une figure invariable est possible » Cette notion de symétrie a été sublimée par Emmy Noether, décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Elle a révolutionné les théories des anneaux, des corps et des algèbres. En physique, le théorème de Noether, établi en 1918, explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation. Il exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations appelées symétries. Ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ». Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps. En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d'invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vues distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution. La notion de symétrie et d'invariance en physique associée à la théorie des groupes a abouti aux théories actuelles depuis la théorie de la relativité, les théories de jauge et la théorie quantique des champsau modèle standard de la physique des particules et à la théorie de grande unification qui sera alors la dernière pièce de l'édifice constitué par le modèle standard qui incorpore les trois interactions dans une théorie unifiée basée sur un groupe de jauge .  Mais pour concilier la physique quantique et la Relativité Générale, les physiciens misent maintenant sur les théories des cordes, et d'autres théories comme la gravité quantique, la gravité quantique à boucles, voire "et si le temps n'existait pas? " ou "vers la physique de demain"...
La fécondité des notions dont Galois avait eu l'intuition est extrême, mais se doutait t-il de l'impact qu'elles auraient sur la Connaissance humaine? A t-elle des limitesPeut-on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?

Commmentaire théorie des groupes: 
Histoire
L'une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss.
Applications
La théorie des groupes est très utilisée en chimie. Elle sert par exemple à simplifier l'écriture de l'hamiltonien d'une molécule en exploitant ses symétries. Elle permet de calculer les orbitales moléculaires comme somme d'orbitales atomiques et de prédire le type de déformation que va subir une molécule en spectroscopie infrarouge (IR). En spectroscopie, elle permet de savoir si une transition sera visible dans un spectre infrarouge et/ou dans un spectre Raman, selon la symétrie de sa déformation.
Chaque molécule possède une symétrie qui peut être déterminée à l'aide du synoptique dans la boîte déroulante ci-dessous. Une fois le groupe ponctuel de symétrie trouvé, on utilise la table de caractères correspondante.

Dans les structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe (en particulier le groupe de Klein)2. Dans La Structure des mythes, Lévi-Strauss réutilisera les groupes de Klein pour établir la "formule canonique du mythe".
La théorie des groupes est aussi très utilisée en physique théorique, notamment pour le développement des théories de jauge.
Les groupes donnent lieu à des tables de représentation irréductibles. Par exemple, pour l'eau, les symétries se combinent selon:

Table C_{2v}
C_{2v}EC_{2}\sigma_{v}(xz)\sigma'_{v}(yz)
EEC_{2}\sigma_{v}\sigma'_{v}
C_{2}C_{2}E\sigma'_{v}\sigma_{v}
\sigma_{v}\sigma_{v}\sigma'_{v}EC_{2}
\sigma'_{v}\sigma'_{v}\sigma_{v}C_{2}E
Chaque mode de vibration moléculaire peut être ramené à une combinaison des représentations irréductibles dont les caractéristiques permettent ensuite d'établir s'ils relèvent de la spectroscopie Raman ou infrarouge.


2) Partie mathématique de la conférence de Alain Connes.
Dans le précédent article nous avons examiné la partie historique de la conférence de Alain Connes à propos de Galois et de la théorie de l'ambiguïté. Aujourd'hui, essayons d'examiner la partie mathématique de cette conférence pour voir en Galois le précurseur qui a eu l'intuition mathématique qui a permis avec la théorie des groupes et la féconde notion de symétrie de percer le secret de du monde subatomique. Commenter un discours mathématique est un exercice difficile mais cela me permet de mieux comprendre les subtilités de la théorie des groupes dont je n'avais que des notions scolaires et par trop simplistes. Alors tentons l'exercice! 

Alain Connes:  
Conférence du 29 novembre 2011 sur Évariste Galois et la théorie de l'ambiguïté:
3) La théorie de l'ambiguïté comme la voyait Galois.
Le groupe de Galois (source wikipedia):
Genèse (histoire du théorème d'AbelSi l'histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l'introduction du concept de groupe date du xviiie siècleJoseph-Louis Lagrange met en évidence la relation entre les propriétés des permutations des racines et la possibilité de résolution d'une équation cubique ou quartique1Paolo Ruffini est le premier à comprendre que l'équation générale et particulièrement l'équation quintique n'admet pas de solution. Sa démonstration reste lacunaire. Les démonstrations de Niels Henrik Abel, dans deux articles écrits en 1824 et 1826 passent, après des années d'incompréhension, à la postérité. Cependant la notion de groupe abstrait n'apparaît pas encore et le théorème reste incomplet.Évariste Galois résout définitivement la problématique en proposant une condition nécessaire et suffisante juste pour la résolubilité de l'équation par radicaux. Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l'Académie des sciences dès 1829, sont définitivement perdus. Un article de l'auteur écrit en 1830 est découvert par Joseph Liouville qui le présente à la communauté scientifique en 1843 en ces termes: « … J'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donnée une équation irréductible décider si elle est ou non résoluble par radicaux. »
L'apport de Galois est majeur, G. Verriest le décrit dans les termes suivants : « le trait de génie de Galois c'est d'avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l'étude de la nature du groupe de l'équation. Ce groupe […] exprime le degré d'indiscernabilité des racines […]). Ce n'est donc plus le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe. »Galois modifie profondément son axe d'analyse par rapport à ses prédécesseurs. Pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, il met en évidence une structure abstraite, qu'il appelle groupe de l'équation. C'est une étude sur la théorie des groupes abstraits qui lui permet de montrer qu'il existe des cas non résolubles. Il met ainsi en évidence que le groupe alterné d'indice cinq ne possède pas les propriétés nécessaires pour être résoluble. Il écrit ainsi « Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n'est pas premier est 5.4.3. »
Cette démarche, consistant à définir et analyser des structures abstraites et non plus des équations, est des plus fécondes. Elle préfigure ce qu'est devenue l'algèbre. Pour cette raison, Galois est souvent considéré comme un père de l'algèbre moderne.
Quand on parle de théorie de l'ambiguïté, cela paraît absolument absurde parce que si on se donne une équation, par exemple du degré 5 telle que les racines soient réelles, par exemple ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0~  (voir la vidéo avec les coefficients a=1, b=1, c=-4, d=3 ,e=-3, f=1) et si on dit "il y a une ambiguïté entre les racines", on voit bien que bien sur la courbe (voir la courbe sur la vidéo), il qu'il y en a une qui est la plus petite (qui est A), puis que les 4 autres sont en ordre croissants (B,C,D,E). Donc, il n'y a pas d'ambiguïté entre les racines. Maintenant, supposons qu'on pose la question: est-il possible de nommer la plus grande racine, par exemple E, par une relation qui soit un relation rationnelle et qui ne laissera pas d'ambiguïté sur le fait que c'est la plus grande racine. On a écrit cette relation E = 4C(carré) + 2D(carré) parce que quand on fait les calculs avec l'ordinateur, on a l'impression qu'elle est vraie. Alors pourquoi cette relation ne peut pas être vraie? En fait, la théorie de Galois a cette force qui permet de savoir, à partir de rien, simplement à partir d'un raisonnement abstrait (et ça va aller beaucoup plus loin après), que cette relation ne peut pas avoir lieu. Pourquoi? Parce qu'il y a un groupe, qu'on appelle groupe de Galois, qui permute les racines entre elles, qui n'est jamais trivial pour une équation irréductible, et qui a la propriété de préserver toutes les relations algébriques entre les racines. Donc si cette relation avait lieu, comme on peut remplacer E par n'importe quelle autre racine, toutes les racines seraient positives, puisqu'un carré, c'est positif (voir la forme de E = 4C(carré) + 2D(carré), donc ce n'est pas possible. Donc on sait, puisqu'il y a ce groupe d'ambiguïté, ce groupe de symétrie, qui est caché derrière, qu'il est impossible que cette relation ait lieu. En l'occurrence, le groupe est très simple, parce que nous avons pris une équation cyclique. Si on a une racine de cette équation,  et si on prend son (Xcarré - 2), c'est encore une racine de l'équation. Donc on a un groupe d'invariance qui fait que chaque fois qu'on a une racine X, la formule ( X au carré) - 2 nous donne une racine. L'intérêt, c'est que toutes les racines de l'équation sont fonction rationnelle d'une seule des racines. Et si c'est le cas, si nous avons une relation algébrique entre les racines (comme E = 4C(carré) + 2D(carré), on en déduit, que pour une racine quelconque, on a une relation polynomiale. C'est forcément un multiple du polynôme irréductible dont on est partiax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0~Et que dit la théorie de Galois dans ce cas: elle dit qu'il faut indexer convenablement  les racines, pas du tout comme précédemment par A,B,C,D,E, mais il faut les indexer par les entiers modulo 5, soit 0, 1 pour les deux premières 3, 4 pour les deux qui suivent puis 2 pour celle qui est le plus à droite. Et alors, on observe que le groupe de Galois a décelé une structure qui était cachée les racines, la structure des entiers modulo 5. Le groupe de Galois les permute de manière cyclique. La structure est présente mais on ne l'aurait jamais vue en raisonnant comme un expérimentateur, un physicien, qui dirait: "j'ai ses racines et cela me suffit". Ce qui est extraordinaire dans la théorie de Galois, c'est que derrière cette évidence apparente qui nous donne une équation et qui nous fait voir ses racines, il y a une théorie beaucoup subtile et beaucoup plus intéressante, cachée derrière, et qui permet de comprendre et de saisir que, du fait qu'il y a une équation irréductible et qu'elle n'est pas résoluble directement (qu'elle n'est pas factorisée) il y a un ambiguïté entre les racines. Il y a une définition abstraite qu'a donnée Galois de tout ça, et une subtilité que Galois décrit parfaitement comme nous allons le voir maintenant.
En résumé, comme on vient de le voir, il faut indexer convenablement les racines de l’´équation 1 + 3x − 3x 2 − 4x 3 + x 4 + x 5 = 0 par le corps F5 des entiers modulo 5. Le groupe de Galois est alors celui des translations.  

"Théorème" (Page 35):
 Soit une équation donnée, dont a, b, c, · · · sont les m racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres a, b, c, · · · qui jouira de la propriété suivante : 
– 1) que toute fonction des racines, invariable par les substitutions de ce groupe, soit rationnellement connue.
– 2) réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par ces substitutions." 
Dit ainsi, on ne le comprend pas vraiment si on n'a pas l'explication de Galois dont le texte est beaucoup précis et beaucoup intéressant que cet énoncé abstrait. Il dit en substance: 

Texte de Galois: "Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est invariable par les substitutions des racines entre elles (si on prend la somme des racines, elle est invariable par toutes les substitutions), mais encore celle dont la valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions (Et là, il y a une distinction qui est cruciale, Galois dit que si Fx=0; Fx est une fonction des racines, qui ne varie par aucune permutation, mais il est beaucoup précis, il dit: lorsqu'une qu'une fonction des racines ne change pas de valeur numérique par une certains substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution). Par exemple si Fx = 0 est une équation, Fx est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Lorsqu’une fonction des racines ne change pas de valeur numérique par une certaine substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution. On voit qu’une fonction peut très bien être invariable par telle ou telle substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique. Ainsi si Fx = 0 est l’équation proposée, la fonction ϕ(F(a), F(b), F(c), . . .) (ϕ étant une fonction quelconque et a, b ,c ... les racines) sera une fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines sans que sa forme l’indique généralement. 
Or c’est une Question dont il ne paraît pas qu’on ait encore la solution, de savoir si, étant donnée une fonction de plusieurs quantités numériques, on peut trouver un groupe qui contienne toutes les substitutions par lesquelles cette fonction est invariable, et qui n’en contienne pas d’autres. (C'est un pas énorme qui est franchi, chez Lagrange par exemple ou dans d'autres textes, on cherchait à trouver pour l'équation générale des fonctions des racines qui ne soient pas trop invariantes, tout en l'étant un petit peu, par exemple, pour une équation du 4ème degré, la fonction AB+CD est une fonction qui n'est pas invariante par toutes les permutations mais qui ne prend que 3 valeurs différentes quand on applique toutes les permutations, ce qui permet de résoudre l'équation du 4éme degré par une équation du 3ème degré). Il est certain que cela a lieu pour des quantités littérales, puisq’une fonction de plusieurs lettres invariable par deux substitutions est invariable par leur produit (c'est évident). Mais rien n’annonce que la même chose ait toujours lieu quand aux lettres on substitue des nombres. 
On ne peut donc point traiter toutes les équations comme des équations littérales. Il faut avoir recours à des considérations fondées sur les propriétés particulières de chaque équation numérique. C’est ce que je vais tâcher de faire. 
Remarquons que tout ce qu’une équation numérique peut avoir de particulier, doit provenir de certaines relations entre les racines. Ces relations seront rationnelles dans le sens que nous l’avons entendu, c’est `a dire qu’elles ne contiendront d’irrationnelles que les coeffi- cients de l’'équation et les quantités adjointes. De plus ces relations ne devront pas être invariables par toute substitution opérée sur les racines, sans quoi on n’aurait rien de plus que dans les équations littérales. 
Ce qu’il importe donc de connaitre c’est par quelles substitutions peuvent être invariables des relations entre les racines, ou ce qui revient au même, des fonctions des racines dont la valeur numérique est déterminable rationnellement."
(Là il faut donner une explication. Si on veut déterminer toutes les relations rationnelles entre les racines, on peut le faire. Cela nous donnerait un polynôme qu'on appelle polynôme associé à l'extension galoisienne correspondante, qu'il est très difficile de calculer et de manipuler. Ce qui est merveilleux, c'est que ce que Galois a démontré, c'est que ce qui compte, ce n'est pas  les relations d'une certaine fonction comme on l'a vue telle que E = 4C(carré) + 2D(carré)= 0, on a un peu du mal à déterminer "un truc" = 0, ce qui compte, c'est les quantités rationnelles. Donc la fonction doit être invariante dans le groupe de Galois, mais réciproquement, si on prend une expression qui est invariante dans le groupe de Galois, elle ne donnera pas 0, mais un nombre rationnel et comme ce nombre est rationnel, on peut le soustraire de cette expression et on obtient 0. C'est par l'invariance et le groupe d'invariance, qu'on peut déterminer toutes les relations rationnelles, donc toute la spécificité d'une équation. On arrive donc maintenant au groupe de Galois).

Groupe de Galois 
En effet la théorie de Galois donne un groupe de permutations des racines qui est toujours non-trivial (Le groupe n'est jamais réduit à l'identité, sauf si le groupe est entièrement résolu, c'est à dire si on a factorialité de degré 1) et dont l’ordre est multiple du degré de l’équation) et qui laisse invariante toute relation rationnelle entre les racines. Pour montrer l’existence de ce groupe d’ambiguïté, Galois procède en deux étapes : 
(1) (la première étape, c'est du trouver une autre équation (auxiliaire), ce que Lagrange savait déjà dit Galois dans le rapport de Poisson, telle que les racines de l'équation dont on parle soient toutes des fonctions rationnelles d'une seule racine de l'équation auxiliaire): Les racines sont toutes fonctions rationnelles fj(V ) de racines V d’une équation auxiliaire dont les racines se déduisent les unes des autres par des transformations rationnelles. 
(2) Une relation rationnelle entre les racines donne une équation H(V ) = 0 qui est automatiquement vérifiée par toutes les autres racines du polynôme minimal de V  (ce qui termine la démarche, comme il y a une seule racine de l'équation auxiliaire, elle sera forcément multiple du polynôme minimal de V qui est invariant par les transformations rationnelles)

Preuve de Galois "racines de l’équation donnée sont a = f1(V ), b = f2(V ), · · · , z = fm(V ) Le groupe G est formé des permutations 
f1(V ), f2(V ), · · · , fm(V ) 
f1(V ′ )f2(V ′ ), · · · , fm(V ′ ) · · · 
f1(V (d−1)), f2(V (d−1)), · · · , fm(V (d−1))
 où V, V ′ , V ” , · · · sont les racines de Q = 0, où Q est un facteur irréductible du polynôme A(Y ) = ∏ σ (Y − V (σ(a), σ(b), . . . , σ(z))) 
G ne dépend pas du choix de la fonction V (a, b, c, · · · ) que l’on avait choisie arbitrairement !" 

Difficulté des calculs En pratique les calculs sont très difficiles à faire, et Galois ne dit pas qu'il ne faut pas faire les calculs, il dit: “Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leur forme, telle est suivant moi, la mission des géomètres futurs”

Dedekind, Kronecker, Landau:
Nous verrons comment Galois faisait les calculs, mais auparavant, voyons ce qu'on fait maintenant. Pour comprendre le groupe de Galois de manière naturelle et simple, il y a un théorème, le Théorème de Chebotarev qui permet de comprendre dans quel sens il vrai que plus le groupe d'ambiguïté est grand, plus il est difficile de résoudre un équation (l'équation est à coefficients entiers). Le théorème est formulé en disant qu'on va s'intéresser à réduire modulo un nombre premier. Pour chaque nombre premier on va regarder si on peut résoudre l'équation modulo ce nombre premier. Cela veut dire que tous les nombres qui sont multiples d'un nombre premier, on les identifie à 0 et on cherche à résoudre l'équation. On utilise alors le Théorème de Chebotarev qui dit que la probabilité (sur l'ensemble des nombres premiers) pour qu’une équation soit complètement résolue modulo un nombre premier p est l’inverse de l’ordre de son groupe de Galois:


En résumé, Pour calculer le groupe de Galois de manière simple on utilise un résultat dû à Dedekind, Kronecker et Landau (qui est un cas particulier qui dit ) : la probabilité pour qu’une équation soit complètement résolue modulo un nombre premier p est l’inverse de l’ordre de son groupe de Galois. 
Exemple équation (1) : 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 
Equation cyclique, groupe de Galois = Z/5Z

Factorisation de l'équation (1) modulo p
p=2  1 + x + x (2) + x (4) + x (5) 
    3  1 + 2x (3) + x (4) + x (5) 
    5  1 + 3x + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5  On met le coefficient de  x entre parenthèses: 2x(2)= 2 x au carré
    7  1 + 3x + 4x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 
  11  (9 + x) 5 
  13  1 + 3x + 10x 2 + 9x 3 + x 4 + x 5 
  17  1 + 3x + 14x 2 + 13x 3 + x 4 + x 5 
  19  1 + 3x + 16x 2 + 15x 3 + x 4 + x 5 
  23  (9 + x)(12 + x)(13 + x)(17 + x)(19 + x) 
  29  1 + 3x + 26x 2 + 25x 3 + x 4 + x 5  
  31  1 + 3x + 28x 2 + 27x 3 + x 4 + x 5 
  37  1 + 3x + 34x 2 + 33x 3 + x 4 + x 5 
  41  1 + 3x + 38x 2 + 37x 3 + x 4 + x 5 
  43  (7 + x)(21 + x)(29 + x)(34 + x)(39 + x) 
  47  1 + 3x + 44x 2 + 43x 3 + x 4 + x 5 
  53  1 + 3x + 50x 2 + 49x 3 + x 4 + x 5 
  59  1 + 3x + 56x 2 + 55x 3 + x 4 + x 5 
  61  1 + 3x + 58x 2 + 57x 3 + x 4 + x 5
  67  (29 + x)(32 + x)(43 + x)(48 + x)(50 + x)
  71  1 + 3x + 68x 2 + 67x 3 + x 4 + x 5 
  73  1 + 3x + 70x 2 + 69x 3 + x 4 + x 5 
  79  1 + 3x + 76x 2 + 75x 3 + x 4 + x 5 
  83  1 + 3x + 80x 2 + 79x 3 + x 4 + x 5 
  89  (3 + x)(18 + x)(34 + x)(42 + x)(82 + x)
"C'est donc extrêmement simple" dit Alain Connes. Si on regarde le polynôme (1) 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 et si on le réduit modulo p (voir le tableau précédent), on voit qu'il arrive assez fréquemment que notre polynôme (1) ait toutes ses racines dans les entiers modulo le nombre premier. Pour le nombre 11, qui est très particulier, on n'a pas de racines distinctes. Si on prend des nombres autres que 11, si les racines existent dans les entiers modulo p, elles vont être distinctes. On voit qu'à peu près tous les 5 nombres premiers, l'équation est complètement résolue avec toutes ses racines et dit Alain Connes, cette équation est facile. Facile? Oui, au sens où Alain Connes a mis sur un tableau l'inverse de la proportion de nombres premiers p (qui est bien la densité) pour lesquels l’équation 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 est complètement résolue modulo p. On voit qu'on obtient le nombre 5. en prenant les nombre premiers jusqu'à 10 000 sur le tableau présenté dans la vidéo.
Maintenant Alain Connes s'intéresse à des équations un peu plus compliquées, par exemple racine  cinquième de 2 modulo un nombre premier:
p=3:    (1 + x)( 1 + 2x + x (2) + 2x (3) + x (4))     [x (2) = x au carré]
     5     (3 + x) (5) 
     7     (3 + x)( 4 + x + 2x (2 )+ 4x (3) + x (4))
   11      9 + x (5) 
   13     (7 + x)( 9 + 8x + 10x (2) + 6x (3) + x (4) 
   17     (2 + x)( 16 + 9x + 4x (2) + 15x (3) + x (4))
   19     (4 + x)( 16 + 16x + x (2)) (16 + 18x + x (2)) 
   23     (17 + x) ( 8 + 9x + 13x (2) + 6x (3) + x (4 )) 
   29     (8 + x) ( 6 + 10x + x 2 ) (6 + 11x + x 2 ) 
   31     29 + x (5) 
   37    (13 + x) ( 34 + 23x + 21x (2) + 24x (3) + x (4 ) 
   41     39 + x 5 
   43     (35 + x) ( 11 + 39x + 21x (2)+ 8x (3) + x (4) 
   47     (19 + x) ( 37 + 3x + 32x (2) + 28x (3) + x (4) 
   53     (5 + x) ( 42 + 34x + 25x (2) + 48x (3) + x (4) 
   59     (5 + x) ( 25 + 7x + x (2 )) (25 + 47x + x (2) 
   61     59 + x 5 
   67     (26 + x) ( 36 + 45x + 6x (2) + 41x (3) + x (4)
   71     69 + x (5) 
   73     (69 + x) ( 37 + 64x + 16x (2) + 4x (3) + x (4 ) 
   79     (60 + x) ( 45 + 2x + x (2)) (45 + 17x + x (2 )) 
   83     (12 + x) ( 69 + 15x + 61x (2) + 71x (3) + x (4)

On voit que pour les nombres examinés (de 2 à 83), il n'y en pas un où l'équation est résoluble complètement modulo les nombres premiers.
Et si on fait le calcul assez loin, on s'aperçoit que l'inverse de la densité de l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels il y a cinq solutions pour racine cinquième de 2 (x puissance 5 = 2 modulo p) dans les entiers modulo p est égal à l’ordre du groupe de Galois qui vaut ici environ 20. Le calcul met du temps à se stabiliser, mais il se stabilise à 20.Cela veut dire que le groupe de Galois de cette équation est d'ordre 20. Ce n'est pas un groupe cyclique, car il aurait fallu adjoindre les racines d'ordre 1, ce qu'on a pas fait ici.  

Lorsqu'on fait le calcul explicite (qu'a fait Galois), on s'aperçoit bien sûr qu'il y a la permutation cyclique, mais qu'il y a aussi d'autres permutations, qui sont impaires (ce qui a fait croire à Abel et Galois qu'ils avaient résolu l'équation du 5ème degré) et en fait, il y a une structure sous-jacente. Ce qu'il faut faire, c'est indexer  les racines (qui sont 0,1,2,3,4) par le corps F5 (à 5 éléments) et le groupe de Galois est alors le groupe affine (ce n'est plus seulement le groupe des translations) des transformations, de la forme x ---> ax + b, a, b,x € F5, a ̸= 0. 
(Espace affine: En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).)
Regardons maintenant un exemple plus intéressant, avec dont l'équation:  4 + 10x + 5x (2) + x (5) = 0 dont le groupe de Galois est le groupe d'ordre 10, groupe dihedral D5. On peut le ertrouver en regardant le théorème de Chebotarev. Si on fait le calcul explicite de son groupe de Galois, on trouve un sous-groupe du groupe affine. On retrouve les permutations cycliques et des permutations caractéristiques du groupe dihédral. La méthode consiste à nouveau à indexer les racines par le corps F5 et le groupe de Galois est à nouveau un sous-groupe du groupe affine.

Remarque: si on en était resté au degré 4, on n'aurait pas eu d'équations intéressantes, car elles étaient résolubles par radicaux. 


Equation non résoluble par radicaux.
Le choix fait ici par Alain Connes est un peu simplificateur, car il a pris une équation (3 − 2x + x 2 + x 5 = 0) dont le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple).est un carré (243049 est le carré de 493), de telle sorte que son groupe de Galois ne soit pas un groupe symétrique (si on prend une équation du 5éme degré au hasard, son groupe de Galois est le groupe Symétrique des quintites F5). C'est une espèce d'erzatz de ce qui se passe pour l'équation du second degré. Le groupe de Galois devient le groupe A5, qui est un groupe simple, le groupe alterné. On le voit en calculant la probabilité pour que l'équation soit résoluble complètement modulo p. Si on va assez loin dans les nombres premiers et qu'on inverse cette probabilité, on obtient 60.
(La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau intègre et P un polynôme de degré n dont les coefficients appartiennent à A et sont notés de la manière suivante : La dérivée formelle de P est notée P' , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant ; c'est une application particulière qui à deux polynômes associe un élément de A.
Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante1 lorsque deg(P' ) = n – 1 (ce qui est toujours le cas en caractéristique 0) :
\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}2}{a_n}R(P,P').)
Si on fait le calcul explicite, on trouve des permutations comme celle indiquées sur les deux fig. dans la vidéo. L'intérêt des 2 permutations qui sont écrites c'est qu'elles donnent la présentation du groupe. On un groupe d'ordre 60, qui peut être difficile à appréhender. En fait, c'est très simple, car la présentation est très simple. Il y a deux générateurs, celui du haut (u) dont le carré u(2) = 1 et celui du bas dont le cube v(3) =1. Ce dernier groupe permute de manière cyclique les 3 racines. De plus, quand on fait le produit uv de ces deux générateurs, on obtient un élément dont la puissance cinquième = 1. Quand on connaît ces relations u(2) = 1, v(3) = 1, uv (5) =1, on a tout compris sur le groupe dit Alain Connes. Parce qu'ensuite, on écrit des mots avec les lettres u et v et on fait des simplifications qui s'imposent. Par exemple u au carré = 1, on ne peut pas répéter u deux fois, dans v au cube =1, on peut pas répéter v 3 fois et ainsi de suite. Il est immédiat aussi qu'une équation qui a ce groupe là ne peut pas être résolue par radicaux parce qu'on pourrait représenter ses relations de manière abélienne et si on a u(2) = 1, v(3) =1 et si u et v commutent, alors quand on prend uv(5) = 1. On en déduit immédiatement que u = v =1. On a alors une contradiction évidente. C'est comme ça qu'il faut comprendre ces groupes.

Corps de Galois
Ce qui est extraordinaire, c'est que quand Galois avait 18 ans, il a publié "un court article “Sur la théorie des nombres” dans le Bulletin de Férussac, (Tome XIII, p. 428), en juin 1830)."  
On a vu précédemment qu'il faillait indexer les racines sur le corps F5. "Mais ce que fait Galois ici est fantastique. Il définit les corps quelconques Fq: "Galois introduit les corps finis les plus généraux Fq. pour q = p (ℓ), p puissance  . Il démontre que pour construire Fq il suffit d’adjoindre à Fp les racines de l’unité d’ordre premier à p, solutions de Xq − X = 0 et que toute équation polynômiale sur Fp se résout complètement dans un Fq. Il calcule le groupe de Galois de Fq sur Fp : groupe cyclique engendré par le “Frobenius” x → x (p) = x puissance p."
Ce n'est pas le calcul du groupe de Galois de Fq, (que Galois paramètre par le Frobenius), qui sont remarquables, mais le fait qu'il prolonge le cas général des équations résolues par radicaux ce qu'il avait compris pour les équations de degré premier en utilisant le corps Fq. Si l'équation est résoluble, on pourra indexer les racines, non par F5, mais par un corps fini Fq et que les transformations des racines par le groupe de Galois seront automatiquement contenues pas seulement dans le groupe affine, mais dans le groupe affine produit semi-direct par les puissances du Froebenius. En général, quand on explique la théorie de Galois, on explique surtout la théorie générale, par exemple le théorème suivant:
Réduction du groupe de Galois Théorème Si l’on adjoint à une équation donnée la racine r d’une équation auxiliaire irréductible, 
– 1˚ il arrivera de deux choses l’une : ou bien le groupe de l’équation ne sera pas changé ; ou bien il se partagera en p groupes appartenant chacun `a l’équation proposée respectivement quand on lui adjoint chacune des racines de l’équation auxiliaire ; 
– 2˚ ces groupes jouiront de la propriété remarquable, que l’on passera de l’un à l’autre en opérant dans toutes les permutations du premier une même substitution de lettres
Mais en fait, Galois a été bien plus loin au sens où il avait compris que quand on connaît le groupe de Galois dans le cas où elle est résoluble, ce groupe recèle une structure très particulière et intéressante entre les racines: on peut indexer ces racines par tous les éléments d'un corps fini et ensuite cette structure est automatiquement préservée par l'action du groupe de Galois. Donc c'est une structure intrinsèque à l'ensemble des racines, c'est tout à fait extraordinaire.

Dans la suite de la vidéo Alain connes présente les calculs. 
A l'époque de Galois, les gens ne pouvaient pas faire les calculs que nos puissants ordinateurs permettent aujourd'nui.  Même s'il est trop difficile de les présenter de manière textuelle et non par des mathématiques pures, il est très intéressant de voir comment en parle Alain Connes. Il rappelle que pour l'équation de degré 5 on avait obtenu les résultats suivants en utilisant Chebotarev pour connaître le groupe de Galois des équations:
Pour 3-2x+x(2)+x(5) l'inverse de la densité de l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels il y a cinq solutions est 64.1026, le groupe est environ 60.
Pour 1+3x-3x(2)-4x(3)+x(4)+x(5) c'est 4.9975 soit environ 5
Pour 4+10x+5x(2)+x(5), c'est 10.2041 soit environ 10.
Pour -2+x(5), c'est 21.1416, soit environ 20
Ensuite on part d'une équation par exemple 4+10x+5x(2)+x(5)=0.C'est celle qui a 10 comme inverse de la densité, donc le groupe dihédral. Alors que fait-on quand on a une équation, comment calculer son groupe de Galois, comment Galois s'est proposé de le faire? On va d'abord trouver une fonction des racines qui est telle que cette fonction va prendre factorielle 5 (120) valeurs différentes.
On prend toutes les racines comme fonctions rationnelles d'une racine d'une autre équation. On essaye la fonction la plus simple possible. C'est la fonction a+2b+3c+4d. On ne mettra pas e, puisque la somme des racines est connue et que les coefficients doivent être différents (on a pris 1,2,3,4). Voir: Quel que soit le degré n d'un polynôme, et quelle que soit la nature de ses racines (réelles ou complexes), on aura toujours: -b/a = la somme de toutes les racines et (-1)n.k/a= le produit de toutes les racines. On prend ces coefficients (a=1,b=2,c=3,d=4) et on calcule l'équation qui a pour racine a+2b+3c+4d, puis il faut la factoriser. Alain Connes dit "je ne vous la montre pas parce que ça vous ferait peur"... finalement il la montre et c'est bien un monstre. Tous les facteurs irréductibles (il y a 12) sont de degré 10. Maintenant, par un raisonnement d'élimination, on peut exprimer les racines de l'équation de départ en fonction d'une racine quelconque de ce polynôme. On fait ce calcul par élimination et on obtient l'expression (unique) donnant les racines. Dans le résultat on ne va que jusqu'au degré 9 puisque l'équation irréductible est de degré 10. Ensuite on prend les racines du premier facteur irréductible (on a vu qu'il y en avait 12). Maintenant, ce qui est incroyable, c'est que chaque fois qu'on a un couple de racines de l'équation auxiliaire (4+10x+5x(2)+x(5)=0)  :c'est à dire 42875+574750Y(2)-81625Y(4)-4525Y(6)-108Y(8)+Y(10), cela va nous donner une permutation. Cela correspondait au tableau que nous avons vu précédemment qui donnait l'ambiguïté entre les racines. Alain Connes montre alors un petit programme qui va montrer que chaque fois qu'on donne deux nombres, on a une permutation correspondante. Si on fixe la première (par exemple =1), on va varier la deuxième et on alors obtient tout  le groupe diéhdral avec des involutions et des permutations cycliques
On vient donc de voir comment le groupe de Galois se calcule. Et ensuite si on applique la factorisation comme on l'a vue précédemment, on peut vérifier quelque chose qui est relié au théorème de Chebotarev, un des deux  théorème de Dedekind. Il dit que si on regarde comment le polynôme va se factoriser modulo p, par exemple modulo 23 [factorisation = (20+x)(5+9x+x(2)(12+17x+(x)2)], cela va correspondre à des cycles dans le groupe de Galois. Ici la décomposition modulo 23 correspond à une involution qui va fixer une racine, qui va permuter deux autres racines et ainsi de suite. La factorisation modulo 29 [(4+10x+ +5x)+(x5)] correspond à une permutation cyclique et la factorisation modulo 31 [(13+x)(5+8x+x(2))(22+10x+x(2)] correspond à une involution. 
Le polynôme d'ordre 5 est très simple, car quand on factorise le polynôme associé, on ne va retrouver que des tous petits polynômes de degré 5. On peut calculer les racines, on peut calculer le polynôme associé. L'intérêt, c'est qu'on peut maintenant calculer explicitement toutes les permutations ce qui est supérieur au fait de savoir que le groupe de Galois est d'ordre 5. Par exemple, si on prend le polynôme [1+3x-3x(2)-4x(3)+x(4)+x(5)] dont l'équation auxiliaire est -2531-2521Y-503Y(2)-15Y(3)+10Y(4)+Y(5) les permutations ne se comprennent qu'une fois qu'on a indexé toutes les racines dans le corps F5 de telle sorte qu'elles deviennent simplement des translations.
La complexité des calculs qu'on peut faire avec les ordinateurs aujourd'hui est phénoménal. Les exemples montrés par Alain Connes montrent à l'évidence la puissance de l'intuition de Galois. Il avait même compris que quand on adjoint une racine d'une équation auxiliaire, le groupe de Galois, ici le groupe A5 va se casser en sous-groupes, qui ne sont pas des sous-groupes normaux. Le groupe de Galois va diminuer (son ambiguïté va diminuer) mais d'une manière qui dépend du choix de de cette racine auxiliaire, ce qui est extrêmement bizarre. En effet quand on écrit la factorisation du polynôme de degré 6 : 1) [(109+493x-15x(2)+10x(4)+x(6)] et quand on adjoint ω (racine de ce polynôme), aux rationnels, le polynôme (de degré 10) en Y se factorise.en termes de cette racine.ω, mais la factorisation ne dépend pas de ω  puisque c'est une factorisation abstraite. Alors comment se fait-il que le groupe de Galois se réduise d'une manière qui dépend de ω. C'est que ω peut prendre 6 valeurs possibles (6 racines).  Et à chacune de ces 6 valeurs possibles, quand on regarde les racines d'un terme irréductible du polynôme 1), on va obtenir une partition de l'ensemble des 60 racines de l'équation auxiliaire de départ en 6 sous-ensembles de 10 éléments. Chaque fois qu'on rajoute une racine différente, il y a une partition différente des 60 racines de l'équation auxiliaire. Et à chacune de ces partitions va correspondre un groupe de Galois différent qu'on peut calculer pour chaque partition. 

Conclusion: l'intuition de Galois.
Revenons d'abord à la lettre que Galois a écrit à son ami Auguste Chevalier la veille du duel où il dit quelque chose de cryptique,  pratiquement impossible à comprendre à laquelle on pourrait toujours essayer de donner de multiples significations. Voir la lettre dans lettre à Auguste Chevalier 5 -la mort"Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j’ai explorés. Mes principales méditations, depuis quelques temps, étaient dirigées sur l’application à l’analyse transcendante de la théorie de l’ambiguïté. Il s’agissait de voir à priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données sans que la relation pût cesser d’avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite, l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pourrait chercher. Mais je n’ai pas le temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées, sur ce terrain qui est immense. Tu feras imprimer cette lettre dans la Revue Encyclopédique. Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n’étais pas sûr. Mais tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Après cela, il y aura, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t’embrasse avec effusion " E Galois – 29 mai 1832   

Ce qu'a présenté Alain Connes dans cette vidéo montre l'incroyable vision de Galois qui était capable sans effectuer les calculs, de savoir ce qu'ils allaient donner et de voir infiniment plus loin. Non seulement il a été capable de voir qu'une équation primitive est résoluble  "si et seulement si on peut indexer se racines par un corps fini" qu'il avait défini, les permutations étant données par le premier du groupe affine et par le Froebenius". Il s'est aperçu qu'il pouvait appliquer sa théorie aux fonctions elliptiques, et aux divisions des fonctions elliptiques, ce qui pour lui, était un hasard. 

Alain Connes conclut en nous incitant à bien voir que la pensée de Galois n'est certainement pas épuisée et ceci pour la raison suivante: maintenant on a, dans les mathématiques modernes parfaitement maîtrisé cette partie qui est "la théorie Galois", la théorie des équations, qu'on contrôle parfaitement bien. Mais on a un problème analogue, plus difficile que celui de Galois et qui est un problème transcendant. C'est comme sion avait une équation, ce qu'on appelle  les fonction L, on ne sait même pas démontrer (on en est sûr car on peut vérifier avec l'ordinateur) que les racines de cette équation sont toutes réelles. On n'est même pas au même pas qui est le pas des physiciens qui consiste à regarder où sont les racines de l'équation. Mais le pas suivant,  pas qui est évident, tel qu'il est posé par Galois, c'est de regarder la théorie de Galois pour ces équations là. Cela commence un tout petit peu à exister, mais la théorie est bien loin d'être développée et comprise. Il faut bien voir que réduire la théorie de Galois à son application au cadre classique, à la théorie des corps etc, ce serait complètement illusoire. Dans l'idée fondamentale qui est derrière,idée qui est infiniment difficile à expliquer et à saisir, il y a un potentiel qui est beaucoup plus grand que celui qui a été capturé par le formalisme des mathématiques modernes.


Annexes: 


https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_L: la fonction L
La théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration.Exemples de fonctions L
la fonction ζ de Riemann, qui est l'exemple le plus classique ;
les fonctions L associées aux formes modulaires via la transformation de Mellin ;
les fonctions L associées aux caractères, qui permettent notamment de démontrer le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques.


https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_fonctionnelle_(fonction_L)
En mathématiques, l'une des propriétés caractéristiques des fonctions L de la théorie des nombres est la forme de leur équation fonctionnelle. Il existe une théorie élaborée de ce que devraient être ces propriétés ; beaucoup d'entre elles sont encore conjecturelles. Par exemple, la fonction zêta de Riemann possède une équation fonctionnelle reliant sa valeur au nombre complexe s avec sa valeur en 1 – s (ces valeurs de ζ sont seulement définies par prolongement analytique à partir de la définition en série). Plus précisément, avec la notation usuelle σ pour la partie réelle de s, l'équation fonctionnelle relie les cas σ > 1 et σ < 0, et échange aussi un sous-cas de la bande critique 0 < σ < 1 avec un autre sous-cas, symétrique par rapport à l'axe σ = 1/2. Par conséquent, l'équation fonctionnelle est un outil de base pour étudier la fonction zêta dans le plan complexe entier.
L'équation fonctionnelle en question pour la fonction zêta de Riemann prend la forme simple suivante
où ξ est ζ multiplié par un facteur gamma, qui fait intervenir la fonction gamma. Ce facteur est vu de nos jours comme un facteur "supplémentaire" dans le produit eulérien pour la fonction zêta, correspondant à la place infinie. La fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres K vérifie une équation fonctionnelle exactement de la même forme, avec un facteur gamma approprié qui dépend seulement des plongements de K (en termes algébriques, du produit tensoriel de K par le corps des réels).
Il existe une équation similaire pour les fonctions L de Dirichlet, mais cette fois, en les reliant par paires :
avec χ un caractère de Dirichlet (primitif), χ* son conjugué complexe, Λ la fonction L multipliée par un facteur gamma, et ε un nombre complexe de module 1, de la forme

où G(χ) est une somme de Gauss formée à partir de χ. Cette équation possède la même fonction des deux côtés si et seulement si χ est un caractère réel, prenant des valeurs dans {0,1, –1}. Alors, ε doit être 1 ou −1, et le cas de la valeur –1 impliquerait un zéro de Λ en s = 1/2. Selon la théorie des sommes de Gauss, la valeur est toujours 1, donc aucun zéro simple de cette sorte ne peut exister (la fonction est paire en ce point).
Une théorie unifiée de telles équations fonctionnelles a été donnée par Erich Hecke, et la théorie fut remaniée par John Tate dans sa célèbre thèse1. Hecke trouva des caractères généralisés de corps de nombres, appelés aujourd'hui les caractères de Hecke (en), pour lesquels sa démonstration (basée sur les fonctions thêta) fonctionnait aussi. Ces caractères et leurs fonctions L associées sont maintenant compris comme étant strictement reliés à la multiplication complexe, comme les caractères de Dirichlet le sont aux corps cyclotomiques.

les fonctions L des motifs
http://www.alainconnes.org/docs/cours99.pdf (Analyse et géométrie M. Alain CONNES, membre de l Institut (Académie des Sciences), professeur Formules explicites, formules de trace et réalisation spectrale des zéros de la fonction zéta)

https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/publications/pdf/bnf.pdf (Les mystères de la fonction zêta de Riemann Antoine Chambert-Loir Institut de recherche mathématique de Rennes Université de Rennes 1 Institut universitaire de France)
https://vimeo.com/45302020 (Les mystères de la fonction zeta de Riemann)

http://images.math.cnrs.fr/pdf2006/Julg.pdf (Alain Connes : une autre vision de l’espace)


http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/detentes/les-sept-problemes-du-millenaire (les 7 problèmes du millénaire, dont la théorie de yang-mills)

http://kafemath.fr/2011-2012/1201-19janvier/EdThomas-26janv2012.pdf (Les mystérieux carnets de Ramanujan Édouard Thomas Revue Tangente)



http://www.astronoo.com/fr/articles/espace-dans-le-temps.html


Liens pour cet article:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) (un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes (La théorie des groupes est une discipline mathématique. C'est la partie de l'algèbre générale qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie (En géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d'un groupe orthogonal : il est composé d'isométries, c'est-à-dire d'applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d'une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante)
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/GALOIS2012/
http://perso-math.univ-mlv.fr/users/cartier.sebastien/documents/ter_maitrise.pdf (Théorie de Galois Effective : détermination explicite des sous-corps d’un corps de nombres)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d'une extension decorps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K))
http://www.math.u-psud.fr/~laszlo/galois/galois.pdf (INTRODUCTION A LA THEORIE DE GALOIS ´ par Yves Laszlo)
http://blogperso.univ-rennes1.fr/jeremy.le-borgne/public/introgalois.pdf (Théorie des corps, théorie de Galois : une introduction Jérémy Le Borgne)
http://matthieu.gendulphe.com/Niloufer.pdf (Théorie de Galois Séminaire: Groupe de Galois Deluckshon Niloufer)
http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (0Quelques mots sur la résolubilité par radicaux des équations polynômiales, c'est-à-dire quelques mots sur la théorie de Galois-Introduction 1-Nombres algébriques 2-Extensions de corps3-Corps de décomposition d'un polynôme4-Groupe de Galois d'une extension5-Extension normale6-Théorème de Galois7-Groupe de Galois d'un polynôme8-Extension par radicaux9-Equation P(x)=0 résoluble10-Groupes résolubles11-Et enfin "Le théorème"12-Résolubilité de polynômes et relations rationnelles entre les racines13-Cas irréductible de l'équation du troisième degré

https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Galois (Les problèmes initiaux Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). La démarche qui débouche sur la notion d'extension de Galois provient de la volonté de résoudre des conjectures, souvent vieilles et provenant de différentes branches des mathématiques : l'algèbre avec l'étude des équations algébriques et particulièrement les équations polynomiales, la géométrie avec initialement les problèmes de la construction à la règle et au compas et particulièrement les trois grands problèmes de l'antiquité comme la duplication du cube et surtout les problèmes d'arithmétique comme le dernier théorème de FermatLa philosophie de l'approche:
Tous les problèmes initiaux cités s'expriment simplement, leurs énoncés ne demandent en effet qu'un niveau mathématique élémentaire. En revanche leurs résolutions ont demandé des siècles de patience. La raison réside dans le fait qu'une approche naïve ne permet pas d'appréhender les finesses qu'impliquent les énoncés. Pour apporter des solutions, il est nécessaire de comprendre les structures sous-jacentes à chacune de ces questions. Une analyse directe impose une démarche calculatoire trop complexe pour aboutir.
Quitte à augmenter le niveau d'abstraction, il apparaît alors nécessaire de définir des structures algébriques pures, bénéficiant de théorèmes puissants qui résolvent ces vieux problèmes.
Cas de l'extension de Galois. Une extension de Galois est une construction algébrique utilisant trois structures, celle des groupes, celle des corps commutatifs et celle des espaces vectoriels.
La structure de groupe permet par exemple l'analyse des permutations des racines d'un polynôme. Or l'analyse des permutations est la clé de la recherche des solutions algébriques d'une équation polynomiale. Dans le cas de l'équation quintique ou équation du cinquième degré, il existe 120 permutations possibles. Trouver quelles permutations utiliser et dans quel ordre, est apparu comme un problème combinatoire d'une complexité trop grande pour les mathématiciens comme Joseph-Louis Lagrange qui se sont penchés sur cette question. L'analyse systématique des groupes finis non plus sous un axe combinatoire, mais avec une approche abstraite permet, en échange d'une montée en abstraction, une résolution calculatoirement relativement simple par exemple pour le cas de l'équation quintique. Ludwig Sylow démontre les trois théorèmes2 qui terminent élégamment l'analyse des équations polynomiales. Un théorème fondamental:
L'extension de Galois est archétypale de cette approche algébrique pure. Et cette structure dispose d'un théorème puissant, à la base de toutes les résolutions modernes des différents problèmes cités. C'est le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce théorème établit une relation entre un corps et un groupe. Il permet d'établir un pont entre la théorie des groupes et les problèmes d'algèbre, de géométrie ou d'arithmétique étudiés. Dans l'énoncé du théorème fondamental, le corps, le groupe et la correspondance entre les deux sont abstraits. En échange de cette abstraction, l'extension de Galois offre un cadre très général à l'étude de nombreux problèmes.

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/GALOIS/td10.pdf (Calculs de groupes de Galois : Soit P := X5 + 10X3 − 10X2 + 35X − 18. Modulo 3, voici la décomposition en facteurs irréductibles de P : P = X · (X + 2) · (X 3 + X 2 + 2X + 1) mod 3)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_densit%C3%A9_de_Tchebotariov (théorème de Chebotarev2, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q))

http://mathem-all.fr/bw/chebotarev_resume.pdf (Théorème de chebotarev)
https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2006-07/agreg/factor.pdf (Factorisation des polynômes Préparation à l’agrégation - option Calcul formel)
http://www.normalesup.org/~ramassamy/documents/tipe/algorithme_berlekamp_hensel.pdf (Quelques aspects de la factorisation des polynômes sur Z et sur les corps finis)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme_de_Frobenius (l'endomorphisme de Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_de_Frobenius ( Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos)

https://www.youtube.com/watch?v=dLwi_opxLxs&ebc=ANyPxKruqS3SLXjUgFcvH5YbXyyeHXLnuaJnAmwdHwP7mL7h1OyBYRbl9j2NNaLIbUTTOy6t0BhLAAGxpQl4oJYj59O_rrzzoQ (Les maths ne sont qu'une histoire de groupes -- H. Poincaré, 1881 - Étienne Ghys)

http://www.gecif.net/articles/mathematiques/polynome.html (Calcul instantané des racines d'un polynôme de degré quelconque)

Autres liens (article partie historique)
A propos de Galois:
http://johan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/ (biographies/biographies_de_88_mathematiciens_celebres.pdfBiographies de mathématiciens célèbres Compilation de textes tirés de www.bibmath.net fr.wikipedia.org www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et sites Internet divers)
http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf (alain connes evariste galois et la théorie de l ambiguïté)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)
http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch3galois.pdf (Symétries I. Idées galoisiennes)
http://www.academie-sciences.fr/archivage_site/academie/membre/s130606_ramis.pdf (Séance solennelle de l’Académie des sciences / 13 juin 2006 Réception des Membres élus en 2005 La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques Jean-Pierre Ramis) https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois (Evariste Galois)
http://images.math.cnrs.fr/Il-y-a-cent-quarante-ans-la-mort.html;(il y a 140 ans la mort de Galois: Galois et les nombres premiers....)

https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)
http://les.mathematiques.free.fr/pdf/gal9.pdf (Résolubilité par radicaux)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf Idées galoisiennes)
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikisource.org/wiki/Papiers_et_%C3%A9crits_math%C3%A9matiques (Evariste Galois: papiers et écrits mathématiques)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554 (Sur la mort de Evariste Galois

http://xavier.hubaut.info/coursmath/bio/galois.htm (dans Mathématiques du secondaire: En 1829 il publia son premier article sur les fractions continues suivi d'une démonstration prouvant l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, une branche des mathématiques traitant de la résolution des équations algébriques. Célèbre pour sa contribution à la théorie des groupes, il découvrit une méthode déterminant quand une équation pouvait être résolue par radicaux. Cette théorie apportait ainsi une réponse à des problèmes fort anciens tels que la trisection de l'angle et la duplication du cube. Il introduisit le mot "groupe" en considérant le groupe de permutations des racines d'une équation. C'est la théorie de groupes qui rendit possible la synthèse de la géométrie et de l'algèbre. En 1830 il résolut f(x)=0f(x)=0 (mod pp), avec f(x)f(x) polynôme irréductible, en introduisant le symbole jj pour une des solutions de l'équation; cela conduisit aux corps de Galois GF(p)GF(p). L'oeuvre de Galois apporta une contribution importante à la transition entre l'algèbre classique et moderne)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois)
http://www.patrimoine.asso.fr/contenu/galois/EVARISTE_GALOIS.pdf (Bicentenaire de la naissance d’Evariste Galois à Bourg la Reine)
http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/viegalois/biographie/  (Bicentenaire: biographie de galois)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Galois.html (La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet. Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s'écrire comme fonction rationnelle de deux autres. Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d'un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G. Galois prouve alors élégamment l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d'Abel)
http://www2.ac-lyon.fr/etab/lycees/lyc-42/fauriel/IMG/pdf/bio-galoispd0397.pdf  (« J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans » Évariste Galois (1811-1832)
http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2011/sciences-et-techniques/evariste-galois
http://images.math.cnrs.fr/Evariste-Galois-enfance-d-un-genie.html#menu evariste galois: enfance d'un génie malheureux
http://www.futura-sciences.com/magazines/mathematiques/infos/actu/d/mathematiques-evariste-galois-genie-mathematiques-mort-20-ans-34217/ Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois (Théorie de Galois)
http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (Equations résolubles par radicaux ou théorie de Galois)
https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/enseignement/arith-p13/cours.pdf (De l'arithmétique à la théorie des nombres par Boyer Pascal)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_%C3%A0_l%27origine (la théorie de Galois à l'origine est fondé sur l'étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd'hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l'intention de décrire les permutations des racines)
https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/gal/g.pdf (INTRODUCTION A LA TH EORIE DE GALOIS ET LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE, THEORIE DE GALOIS)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois ( la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois) 
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique) (La symétrie en physique)

http://poesieetautres.unblog.fr/2015/03/02/peut-on-savoir-quelles-sont-les-limites-de-la-connaissance-scientifique/  (Peut on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?)
http://www.abelprize.no/nedlastning/verker/abel_festskrift_fransk/abel_memorial_12_kap9_les_etudes_opt.pdf
https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/GALOIS_MEMOIRE_SUR_LA_RESOLUBIBLITE_EHRHARDT.pdf  (Le mémoire d’ Évariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (1831))

Mathématiciens et scientifiques:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (siméon denis poisson)
http://www.alainconnes.org/fr/ (Alain Connes, le site)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Ramis (Jean-Pierre Ramis, Ses travaux concernent les systèmes dynamiques des fonctions du champ complexe, discrets (équations aux différences et q-différences) et continus (équations différentielles), notamment les notions d'intégrabilité (théorie de Morales-Ramis) et la théorie de Galois différentielle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel (Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 à Froland près d'Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant) (galilée)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1965_num_18_2_2414 (la méthode scientifique de galilée)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Newton)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein (Albert Einstein)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein (Felix Klein)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy (ll fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard EulerPaul Erdős etArthur Cayley avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence dessuites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fourier.html (Jean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriquesconvergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la chaleur )
https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre (Adrien-Marie Legendre)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernt_Michael_Holmboe (Bernt Michael Holmboe, né le 23 mars 1795 à Vang et mort le 28 mars 1850 à Christiania (aujourd'hui Oslo)1, est un mathématicien norvégien)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot (Louis Poinsot (3 janvier 1777 à Clermont-en-Beauvaisis1 - 5 décembre 1859 à Paris) est un mathématicien français connu pour ses contributions à la mécanique rationnelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony (Gaspard Clair François Marie Riche, baron de Prony1, né à Chamelet (Rhône) le 22 juillet 1755 et mort à Asnières-sur-Seine le 29 juillet 1839, est un ingénieurhydraulicien et encyclopédiste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Navier (Claude Louis Marie Henri Navier: ingénieur, mathématicien, économiste)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 à Pithiviers - 25 avril 1840 à Sceaux) est un mathématiciengéomètre et physicienfrançais)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Taton (René Taton, historien des sciences)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Chevalier (Auguste Jean Baptiste Chevalier, un ami très proche de Galois, né le 23 juin 1873 à Domfront et mort dans la nuit du 3 au 4 juin 1956 à Paris, est un biologiste et botaniste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Victor_Cousin (Victor Cousin est un philosophe et homme politique français, né à Paris le 28 novembre 1792 et mort à Cannes (Alpes-Maritimes) le 14 janvier 1867Philosophe spiritualiste, chef de l'école éclectique)
https://fr.wikipedia.org/wiki/August_Leopold_Crelle (August_Leopold_Crelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville (Joseph Liouville)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind (Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 octobre 1831 - 12 février 1916) est un mathématicien allemand et un proche disciple de Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l'axiomatisation de l'arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l'ensemble des nombres entiers ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker (Leopold Kronecker (7 décembre 1823 - 29 décembre 1891) est un mathématicien et logicien allemand. Persuadé que l'arithmétique et l'analyse doivent être fondées sur les « nombres entiers », il est célèbre pour la citation suivante : « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme1. »)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Edmund_Landau (Edmund Georg Hermann Landau (Berlin, 14 février 1877 - Berlin, 19 février 1938) est un mathématicien juif allemand, auteur de 253 publications mathématiques, en grande partie sur la théorie des nombres)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck (Alexander Grothendieck Il est considéré comme le refondateur de la géométrie algébrique et, à ce titre, comme l'un des plus grands mathématiciens du xxe siècle4. Il était connu pour son intuition extraordinaire et sa capacité de travail exceptionnelle. La médaille Fields lui a été décernée en 1966)

Théorème de Noether symétries et conservations
https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique) (Théorème de noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(math%C3%A9matiques) (Théorème de Noether -mathématiques)
http://www.entropologie.fr/2014/08/principe-d-incertitude-et-theoreme-de-noether.html (Principe d’incertitude et théorème de Noether L’objet se constitue scientifiquement en s’émancipant de l’Observateur. Il y a une sorte d’effet miroir entre le Sujet et l’Objet)
http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm (Relation entre le théorème de noether et le lagrangien)
http://webinet.blogspot.fr/2009/09/le-theoreme-de-noether-couteau-suisse.html (Le théorème de noether, couteau suisse de la physique)
http://geometrie-differentielle-par-le-calcul.com/file/19-chap16-th-de-noether.pdf (Le théorème de noether et les champs de jauge)
http://www.fuw.edu.pl/~amt/CdeF63.pdf (Propriétés d'invariance des théories physiques)
http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/expose-Noether.pdf (Symétries et lois de conservation ou le premier théorème de Noether)

Symétries dans la nature:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10cpt/introduction.html (feymnan.ulaval.ca: les symétries discrètes, les symétries fondamentales C P T, la symétrie CP, la symétrie CPT)
http://lpsc.in2p3.fr/atlas/cours/PCT.pdf (Symétries discrètes P C T Règles de sélection)
http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/30/040/30040928.pdf (Symétrie et brisure de symétrie en mécanique quantique Philippe CHOMAZ)
https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/theme/exponentielle_culture.pdf (Préparation Agrégation Externe UPMC Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l’exponentielle)
http://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/lie/CarusoNotesGroupesEtAlgebresDeLie.pdf (Introduction aux groupes et algèbres de Lie)
http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GroupesLie/GAL.pdf (Université pierre et Marie Curie: Groupes et Algèbres de Lie)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes et introduction à la force électrofaible)
Le paradoxe EPR:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03epr/index.html (le paradoxe EPR et les variables cachées)

Théorie des groupes:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes (Théorie des groupes)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)
http://www.math.univ-angers.fr/~schaub/algebre.pdf (ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES. Licence de Mathématiques Université d’Angers)
http://trucsmaths.free.fr/rubik_groupe.htm (Théorie des groupes et Rubik's cube)
https://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) Groupe mathématiques)
https://webusers.imj-prg.fr/~odile.lecacheux/poly2.pdf (initiation à la théorie des groupes -licence)
http://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/gr.pdf (Introduction `a la théorie des groupes et de leurs représentations Jean-Bernard Zuber Service de Physique Théorique de Saclay)
http://theoriedesgroupes.perso.sfr.fr/cours/theoriePDF.pdf (Théorie des groupes)

Groupes de lie 
https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/theme/exponentielle_culture.pdf (Préparation Agrégation Externe UPMC Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l’exponentielle)
http://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/lie/CarusoNotesGroupesEtAlgebresDeLie.pdf (Introduction aux groupes et algèbres de Lie)
http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GroupesLie/GAL.pdf (Université pierre et Marie Curie: Groupes et Algèbres de Lie)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes et introduction à la force électrofaible)

wikipedia.org -Renormalisation

Théories de jauge et force électrofaible:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02jauge/jauge_bosons.htm (Les théories de jauges et la découverte des bosons faibles)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage1.htm feyman.ulaval.ca: théorie quantique des champs, formalisme lagrangien, théorie des groupes et de jauge, exemple pour la QED)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm (feymman.ulaval.ca: théorie électro-faible et nécessité d'un mécanisme de brisure de symétrie)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm Feymnan.ulaval.ca: le mécanisme de Higgs)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes, théorie électro-faible, brisure de symétrie et phénomène de Higgs)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/index.htm (feynman.ulaval.ca: les théories de jauge, classique, quantique, yang-mills, QCD)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04higgs/index.html feynman.ulaval.ca: APPARITION DU BOSON DE HIGGS PAR LE MÉCANISME DE BRISURE DE SYMÉTRIE)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/electrofaible.htm (feynman.ulaval.ca: initiation à la théorie électro-faible, introduction à la QED, quantification EM, la théorie électro-faible)
physique.coursgratuits.net -théories de jauge
http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/30/040/30040928.pdf (Symétrie et brisure de symétrie en mécanique quantique Philippe CHOMAZ)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Interaction_%C3%A9lectrofaible (Interaction électro-faible)
http://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/Invariance.pdf (Essai sur l'invariance de jauge)
http://www.diffusion.ens.fr/vip/pageF02.html (Voyage vers l'infiniment petit: Théorie électro-faible)
http://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/slides-HG.pdf (Le boson de Higgs et la masse des particules)

http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/actu/d/physique-non-boson-higgs-nexplique-pas-masse-soleil-39947/ (non le boson de higgs n'explique pas la masse du soleil, champ de higgs)
http://www.theo.phys.ulg.ac.be/oldhtml/PTF/THESES_files/Memoire_Ecker.pdf (Brisures dynamiques de symétrie et mécanisme de Higgs)
http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/dossiers/d/physique-boson-higgs-cle-fondamentale-univers-532/page/5/ (Le boson de Higgs : une clé fondamentale de l'univers ?)
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canisme_de_Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble (Mécanisme de HIGGS-Brout-Englert-Hagen-Guralnik-Kibble)
https://sciencetonnante.wordpress.com/2011/11/21/le-boson-de-higgs-explique-a-ma-fille/ (Le boson de Higgs expliqué à ma fille)

Chromodynamique quantique:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Libert%C3%A9_asymptotique (la liberté asymptotique prélude à la QCD)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07quarks/index.html (feymnan.ulaval.ca: la nécessité des quarks et le modèle des partons)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03quarks/index2.html (feynman.ulaval.ca: la physique des quarks, la théorie des champs, le modèle des quarks, la couleur, les partons, le modèle du SAC)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/jauge4.htm (feyman.ulaval.ca: La chromodynamique quantique)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04qcd/QCD.html (feynman.ulaval.ca: la QCD,  structure interne du nucléon, le modèle des quarks, notions sur les champs quantiques, théories de jauge, la QCD et ses extensions)
http://www.th.u-psud.fr/page_perso/Pene/Ecole_predoctorale/joliot.pdf (QCD sans peine ECOLE INTERNATIONALE JOLIOT CURIE DE PHYSIQUE NUCLEAIRE)
http://smai.emath.fr/smai2011/slides/pene/Slides.pdf (La chromodynamique quantique, une véritable révolution scientifique O. Pène, LPT-Orsay)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Chromodynamique_quantique (wikipedia: la chromodynamique quantique)
http://www.diffusion.ens.fr/vip/pageE03.html (voyage vers l'infinement petit: la chromodynamique quantique)
http://homepages.ulb.ac.be/~lfavart/phys-f-477/PHYS-F-477.Chap2.pdf (Bases de la chromodynamique quantique à partir du lagrangien)
http://www.larecherche.fr/savoirs/relu-20-ans-apres/chromodynamique-quantique-01-06-2001-81649 (La chromodynamique quantique)
http://ipht.cea.fr/Docspht/articles/t06/108/public/publi.pdf (Thèse Paris 6: Chromodynamique quantique à haute énergie, théorie et phénoménologie appliquée aux collisions de hadrons)
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01065648/document (Recherche de nouveaux bosons légers en astronomie de haute énergie, recherche de particules de type axion)
Unification des forces:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10preons/p1.htm (feynman.ulaval.ca: unification des forces modèle de Pari-Salam, les 2 modles, quarks et préons...)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10unification/Accueil.html (feynman.ulaval.ca: unufication des forces, le modèle SU(5), le modèle SO(10))
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: l'unification des forces, la théorie électro-faible, le modèle standard, la grande unification, la gravité quantique à boucles, et la théorie des cordes)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: la grande unification)

en.wikipedia.org -Quantum_affine_algebra 

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Electro-dynamique quantique:
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http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Aqed/index.htm (feymnan.ulaval.ca: la QED, la symétrie et la transformation de jauge, la dérivation lagrangienne, las diagrammes de feymnan, la renormalisation)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/III.htm (Quantification du champ électromagnétique)


http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/11susy/page3.html (feymnan.ulaval.ca: la supersymétrie et la brisure de symétrie)
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http://phy3501.wix.com/cordes-supercordes (Marleau sur wix: supersymétrie, théorie des cordes et des supercordes)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05Cordes/Main_Frameset.htm (feynman.ulaval.ca: supercordes, Notions sur la relativité, phénoménologie univers <3D, cordes classiques, champs classiques, cordes bosoniques et cordes fermioniques, aperçu des théories des supercordes)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10Kaluza-Klein/index.htm (feymnan.ulaval.ca: La relativité générale et l'impact de l'ajout de dimensions dans la physique des particules voir la théorie de kaluza-klein)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/13kaluzaklein/index.html (feyman.ulaval.ca: Théorie de kaluza-Klein)
http://www.lpt.ups-tlse.fr/IMG/pdf_EA_2.pdf (Théories de Kaluza-Klein)
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http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage1.htm feyman.ulaval.ca: théorie quantique des champs, formalisme lagrangien, théorie des groupes et de jauge, exemple pour la QED)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm (feymman.ulaval.ca: théorie électro-faible et nécessité d'un mécanisme de brisure de symétrie)
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