18 avr. 2013

Théorie de Hans et Dicke (Concurrente de la relativité générale)


Article pour réfléchir sur une théorie difficile.

Les commentaires sur cette théorie sont les bienvenus (qu'apporte-telle?...,).

J'ai cité Hervé Zwirn dans mon dernier article sur les limites de la connaissance (Les limites de la connaissance 6-8) Conclusion- la cécité empirique): la science progresse, selon Popper "par essais et erreurs, conjectures et réfutations. Dans le nombre de théories empiriques disponibles (fini) dans l'infinité de théories différentes, voire incommensurables ou contradictoires, il arrive qu'un certain nombre sont en compétition à une époque. Parmi celles-ci, des tests supplémentaires permettent parfois d'en dégager certaines qui font des prédictions incompatibles. C'est le cas de la théorie de Brans et Dicke écartée récemment en tant que concurrente de la relativité générale".                   
Ce texte me permet de réfléchir sur ce point, car je l'ai trouvé difficile. La théorie de Hans et Dicke a-t-elle été vraiment écartée par l'ensemble de la communauté scientifique?

Original: The Gravitational Theory of Brans and Dicke
By David John Baker :
http://www-personal.umich.edu/~djbaker/The Gravitational Theory of Brans and Dicke.htm


La théorie gravitationnelle de Brans et Dicke
par David John Baker
traduction libre par J. Fric qui endosse la totale responsabilité que des erreurs que sa traduction aurait pu introduire, commentaires personnels entre [..].
La théorie gravitationnelle de Brans et Dicke a été originalement  publiée dans la " Physical Review 1961", traduction disponible:

Quand il conçut la théorie de la Relativité Générale (RG) [ et la Cosmologie associée], Einstein espérait créer une théorie conforme au principe de Mach, qui stipule que la structure inertielle de l'Univers est complètement déterminée par  la distribution de matière. Quand on étudia les solution de l'équation d'Einstein, De Sitter montra en particulier que la théorie n'était pas entièrement conforme au principe de Mach, car elle autorisait des solutions possédant une structure inertielle sans contenu  matériel.
 C.Brans et R.H Dicke, pour palier ce défaut supposé de la RG, ont proposé une théorie relativiste de la gravitation [généralisation de la RG, en s'attachant à être conforme au principe de Mach ] , qui est devenue le principal concurrent de la RG. La théorie de Brans et Dicke (BD) décrit la gravitation par des équations scalo- tensorielles [ ce qui fait qu'elle n'est plus décrite de manière entièrement géométrique], qui inclut une constante gravitationnelle qui est différente en chaque point de l'espace temps qui dépend de la distribution des masses par rapport à ce point. Dans ce papier, je vais relater les origines de la théorie, voir si elle satisfait vraiment le principe de Mach et parler de sa renaissance récente liée à son intérêt dans la Cosmologie inflationniste.
Dans sa " Science de la mécanique" (Science of Mechanics), E. Mach (1912) réfuta l'idée d'espace absolu de Newton, qui assume que les référentiels inertiels sont ceux qui ne sont pas accélérés par rapport à l'espace [ absolu] lui même. Mach pensait que cette référence à l'espace lui même n'avait pas de sens physique, et il argumenta que les référentiels inertiels étaient ceux qui n'étaient pas en accélération par rapport à la position moyenne de toutes les masses de l'Univers. Ceci implique que dans une théorie physique correcte [ selon Mach ], un objet seul dans un Univers parfaitement vide n'est l'objet d'aucune force inertielle et ne peut pas ( par exemple) être en rotation, et qu'en l'absence de matière, l'espace  ne devrait avoir aucune structure inertielle. La Relativité Générale satisfait certains des critères du principe de Mach, la distribution de matière a une influence sur la détermination des référentiels qui sont sujets à des forces inertielles, mais ne satisfait pas ce principe dans d'autres domaines.
Par exemple, la solution de Kerr modélise un objet à symétrie sphérique tournant seul dans un Univers vide, une solution incompatible ( pour la partie asymptotiquement plate) avec le principe de Mach. De plus, la physique à l'intérieur d'une coquille sphérique massive (Intérieur de la solution de Schwarzschild), n'est pas sensible aux propriétés de la coquille, ce qui n'est pas le cas si l'inertie résulte de la matière environnante. Résumons en disant que, au mieux, la compatibilité de la RG avec le principe de Mach est fragmentaire, ce qui a conduit Einstein à déclarer " En, on ne devrait plus du tout parler du principe de Mach" (Straumann 2002, p. 3).
Brans et Dicke (1961) ont tenté de faire revivre le principe de Mach dans leur théorie scalo- tensorielle de la gravitation. Aux composantes tensorielles des équations du champ de la RG, ils ont ajouté un champ scalaire fqui détermine la valeur de la "constante" [ désormais variable]  gravitationnelle, avec  f = G-1,et une constante de couplage sans dimension w. Les équations du champ de la théorie de  Brans et Dicke sont alors:
                                                                                                                                                                                                            (1)
où Gij est le tenseur d' Einstein, Tij est le tenseur énergie impulsion [ ]f = f,i;i est le d'Alembertien du champ scalaire . Le terme du membre de gauche, est le premier terme du membre de droite sont familiers, à la différence qu'on a substitué  f-1 à G, et il apparaît clairement que si ce premier terme est prépondérant est l'inverse de la constante de gravitation de Newton, et la théorie  BD se ramène à la RG. Les deux derniers termes à droite sont nécessités  pour satisfaire la loi de conservation Tij;j = 0.
Le champ scalaire  f est spécifié par l'équation d'onde
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   (2)
Comme  est la trace du tenseur énergie impulsion, nous pouvons déjà voir que  f est déterminé par la distribution de matière et le paramètre  w. Une approximation champ faible pour f peut être calculée en posant  ff0 + e, où  f0 est une constante et  e est une petite perturbation. Alors le D'Alembertien de f est juste le d'Alembertien de la perturbation. Si on reporte dans l'équation d'onde (2), on obtient.

                                                                                                                                                                                                                                           (3)
Si on évalue  T à un temps donné, la solution à cette équation différentielle est:

                                                                                                                                                                                                                                                                                  (4)
Cette approximation montre que w détermine comment f varie en proportion tenseur énergie impulsion  [ le couplage], et donne donc les intensités relatives des contributions du tenseur  (RG) et du  scalaire à la métrique. Si   w est grand , f va être à peu près constant et ses dérivées , qui interviennent dans les termes additionnels du membre de droite de l'équation (BD) du champ (1) vont s'annuler. Pour  w grand le théorie BD se ramène à la RG. 
Brans et Dicke remarquèrent que leur théorie est incompatible avec le principe d'équivalence fort, le principe qui stipule qu'un référentiel chute libre est décrit localement par une métrique de Minkowski. Ceci vient du fait que le comportement physique  dans un référentiel chute libre, en particulier la valeur de la constante gravitationnelle locale dépend du champ scalaire qui varie selon la position. La théorie BD est cependant compatible avec le principe d'équivalence faible.
Voyons comment la théorie BD est plus conforme au principe de Mach sur l'exemple de la solution de Schwarzschild à l'intérieur d'une coquille sphérique de rayon R et de masse M. Postulons un espace plat et donnons comme condition au limite que f = 0 à l'infini, la solution à l'équation d'onde  (2) est
                                                                                                                                                                                                                                                                                               (5)
Nous voyons immédiatement que la constante gravitationnelle et donc la structure inertielle à l'intérieur de la sphère, va dépendre de la distribution de masse de la sphère .Les solutions  à l'intérieur d'une sphère en rotation deviennent également plus Machiennes dans la théorie BD. Avec une densité de matière uniforme à l'extérieur de la sphère,  l'effet Lense-Thirring change si on fait diminuer la densité à l'extérieur de la sphère,  de sorte que la précession des référentiels inertiels à l'intérieur se rapproche de la vitesse de rotation de la sphère lorsque la densité extérieure diminue.
On a supposé, pendant un temps qu'il n'existait pas de solution sans matière à la théorie BD, autre témoignage de la nature Machienne de la théorie. Pourtant ,S.K. Chakraborty (1982) obtint  apparemment une solution aux équations BD de champ (1) pour un espace vide,  Tij = 0. La solution de Chakraborty possède un tenseur de Ricci nul, mais un tenseur de Riemann non nul, donc ne représente pas un espace temps plat, mais est sans matière. Cette solution comprend un champ scalaire variable en temps et en espace, dont le d'Alembertien de f est nul, ce qui fait qu'il n'est pas nécessaire de disposer d'un tenseur énergie impulsion pour déterminer la métrique. Le résultat est un espace temps courbe, avec une métrique bien définie mais sans matière, où une particule de test serait soumise à des forces inertielles si elle devait s'écarter de géodésiques de type temps. En bref, un Univers non Machien est décrit par la théorie BD.
Mais la solution de  Chakraborty arriva assez tardivement dans l'histoire de la théorie BD, et de toute façon, en aucun cas,  une divergence avec le principe de Mach implique qu'une théorie n'est pas physiquement viable. Il reste à définir les types d'expériences permettant de discriminer les effets gravitationnels de la RG de ceux  la théorie BD. Certes, des expériences de pensée montrent des différences, que nous avons considérées, mais le monde physique doit nous permettre  par des observations de dire laquelle est la mieux vérifiée.
Dans la présentation de la Théorie, Brans et Dicke remarquèrent que la théorie scalo-tensorielle prédit une valeur différente de celle de la RG pour la précession du périhélie des orbites des planètes. Le rapport entre les deux prédictions est déterminé par la constante de couplage, donc une théorie BD avec un w élevé sera difficile à discriminer de la RG. Le rapport vaut
                                                                                                                                                                                                                                (6)
Pour Mercure, c'est la RG qui présente le meilleur accord avec les observations.
Alors , Dicke (1964) proposa une expérience pour retourner cet argument. Il remarqua que la précession du périhélie d'une planète dépend d'autres facteurs que ceux qui justifient la correction de la RG, en particulier l'aplatissement du Soleil. Le facteur d'aplatissement du Soleil, D, est défini par la différence entre le rayon du soleil dans un plan équatorial et celui dans un plan passant par les pôles: D = (re – rp)/r, où  r est le rayon moyen. Cet aplatissement va générer un moment quadripolaire dans le champ gravitationnel du Soleil, qui génère une précession additionnelle des orbites des planètes égale à:

                                                                                                                                                                          (7)
où  T est la période de l'orbite en siècles, a est le demi grand axe et e est l'excentricité. Cet argument avait été utilisé comme possibilité d'explication de la précession de Mercure, avant que celle de la RG soit adoptée. Alors qu'il fallait un aplatissement important, pour expliquer la totalité de la précession, Dicke  écrit qu'un aplatissement modeste de  (5x10-5) suffirait à expliquer les quatre secondes d'arc de différence entre les deux théories.
Donc si on mesurait cet aplatissement, comme la précession est la somme des effets, ceci aurait permis de valider la théorie BD ( qui présente ce déficit pour une faible valeur de w )  au détriment de la RG ( dont le résultat n'inclut pas cette correction) qui se trouverait de fait disqualifiée.
Malheureusement mesurer un aplatissement aussi faible se révèle très difficile. Dicke, associé à H. Hill et M. Goldenberg, construisit un appareil de détection en 1964 pour mesurer visuellement  l'aplatissement. Il s'agit d'un télescope pointé sur le Soleil, dont l'image est envoyée sur une cellule photoélectrique via une ouverture [ une fente ?] qui tourne. Si le soleil est aplati, alors la cellule photo-électrique va recevoir plus de lumière, donc émettre un signal plus fort, quand la fente est alignée avec l'axe équatorial. Une difficulté qui apparaît est de définir exactement le bord du soleil, pour cette expérience et aussi de mesurer un aplatissement  aussi faible. 
Dicke et Goldenberg relatèrent leurs résultats de mesure en 1967. Ils déclarèrent avoir décelé un aplatissement indiscutable du Soleil, et en calculant le moment quadripolaire associé, il déclarèrent que cela implique une précession complémentaire telle, sur l'orbite de Mercure, que la RG est donc désavouée (voir Richman, 1996). Les tenants de la  RG firent remarquer que la relation entre un aplatissement visuel et un "aplatissement" gravitationnel restait à établir. Par ailleurs en 1974, Hill publia ses propres résultats qui n'avaient décelé aucun aplatissement du Soleil. En l'absence d'expérimentations concordantes sur ce point, on s'efforça de recourir à d'autres tests pour étudier la validité de la théorie BD. Cette théorie prédit aussi des différences dans la valeur de la déviation des ondes électromagnétiques par la matière, la différence dépendant toujours du paramètre w. Des mesures de déviation d'ondes radio, émis par des sources astronomiques, par le Soleil furent réalisés en 1976,et cela permit de fixer la limite basse de  w entre 15 et 35. La théorie BD prédit également des retards plus grands pour les ondes Radio déviées par le Soleil. En 1979, une série d'expériences dans le domaine Radio éleva la limite basse de w à plus de  500 (Voir Richman, 1996). Cela semblait porter un coup fatal à la théorie sauf pour le cas quasi trivial de valeur de w, très grand où la théorie converge vers la RG dans pratiquement tous les cas.
La théorie scalo-tensorielle semblait avoir du plomb dans l'aile, mais après une décennie de traversée du désert, elle trouva un second souffle, en tant que partie intégrante de la théorie de l'inflation étendue. Les premières théories inflationnistes de Cosmologie,  qui décrivaient une période d'expansion très rapide dans l'Univers primordial, suivie par une transition de phase arrêtant cette expansion., se heurtaient au problème de " l'issue". Dans ces théories, il y avait une grande barrière énergétique  entre le " faux vide" qui provoque et contrôle l'inflation et le vrai vide qu'on retrouve à la fin de l'inflation, après la transition de phase . Le problème est que les régions de vrai vide ne se forment pas assez rapidement et que l'inflation ne s'arrête jamais. La théorie de l'inflation étendue put résoudre le problème de "l'issue" de l'inflation, en Cosmologie, en recourant à la théorie BD.
L'inflation étendue fut proposée par  D. La et P.J. Steinhardt (1989). Ils considérèrent les développements de la théorie BD dans ses limites expérimentales connues (w > 500) pour le problème de l'issue. Pour une valeur aussi élevée de w, le champ scalaire f  varie très lentement dans un Univers dominé par la matière ou le rayonnement. Mais comme La et Steinhardt le montrèrent, pendant l'ère inflationniste, quand la taille de l'Univers croît exponentiellement, f change rapidement même pour  w grand. Ceci signifie que alors que la période d'inflation se poursuit, la variation dans le temps du champ scalaire va transformer la loi exponentielle en loi de puissance, soit un taux d'expansion qui devient proportionnel à tk (pour k constant) au lieu de  et. Mais les bulles de vrai vide qui se forment à l'intérieur du faux vide vont croître à un rythme exponentiel. Cela leur permet de prendre le dessus sur l'expansion ( en loi de puissance) du faux vide et d'achever la transition de phase, mettant fin à la période d'expansion. Point intéressant, l'énergie cinétique du champ scalaire BD, va conduire à un léger accroissement dans la densité d'énergie totale de l'Univers, ce qui fait que le modèle d'inflation étendu ne conduit pas à une valeur résultante de W = 1. Dans l'inflation étendue ce paramètre est donné par
                                                                                                                                                                                                                                                                                    (8)
où  rc est la densité critique et H est la constante de Hubble. Ceci signifie que dans la période d'expansion actuelle dominée par la matière [ en fait par l'énergie sombre (70%) et la matière noire (26% ) selon WMAP] le paramètre d'expansion est :
                                                                                                                                                                                         (9)
Bien sur avec un w  aussi élevé que celui fixé par les observations, cela ne fait pas une grosse différence entre la valeur de  W prédite par la théorie de l'inflation étendue et le  W = 1, de la plupart des théories inflationnistes.
La et Steinhardt remarquèrent que l'inflation étendue ne nécessite pas une théorie scalo-tensorielle exactement conforme à celle proposée par Brans et Dicke. Les théories des cordes ou de  Kaluza-Klein qui tentent d'unifier les forces en ajoutant des dimensions spatiales supplémentaires, peuvent faire référence à une nouvelle formulation scalo- tensorielle  de  la gravitation qui comporte de nombreuses similarités avec la théorie BD, et une telle théorie scalo-tensorielle revisitée pourrait offrir la trame d'une explication pour l'inflation étendue. Il est aussi possible que la relation f et la distribution de matière ne soit pas exactement celui que Brans et Dicke ont spécifié dans leur équation d'onde (2). Par exemple, une variante possible de la théorie peut considérer f comme une fonction de l'énergie du faux vide, ce qui ferait qu'après la période d'inflation  f deviendrait constant, et la théorie scalo-tensorielle se comporterait exactement comme la RG.
La théorie de l'inflation étendue a été infirmée par des observations astrophysiques  (voir Kolitch, 1995). Cependant , S. Kolitch remarque que les théories d'inflation qui ont suivi, par exemple l'inflation hyper-étentue,  une modification de la théorie de  La et Steinhardt incorpore également une théorie gravitationnelle scalo-tensorielle. Il a écrit:
Les théories scalo-tensorielles de la gravitation ont connu un regain d'intérêt qui a conduit d'après des investigations récentes, à la génération de solutions exactes pour la cosmologie, ainsi qu'à des études qualitatives sur les modèles qui en résultent. On a aussi mis en évidence récemment qu'une ère inflationniste peut résulter directement de la dynamique d'un champ scalaire, sans recourir à un quelconque champ scalaire ou une constante Cosmologique. ( p.121).

Il semble que les théoriciens, au moins, ont trouvé beaucoup d'utilisations à la théorie BD, même avec la limitation d'une valeur de w bien plus élevée que Brans et Dicke ne l'imaginaient à l'origine.
Comme beaucoup de théories de la physique moderne ( telle que celle de Kaluza-Klein  qui commença par une explication erronée de l'électromagnétisme, mais posa les fondations de la théorie de cordes) , la théorie scalo-tensorielle de la gravitation est allée bien au delà des intentions de ses créateurs. Le rôle de la gravitation scalo-tensorielle dans le changement de phase de l'inflation étendue ne reflète en rien les motivations Machiennes qui ont animé Brans et Dicke. Malgré de grands changements d'interprétation, au cours des années, la théorie BD reste le meilleur concurrent de la RG.
Références
[1] Brans, C. and Dicke, R.H. 1961. "Mach’s Principle and a Relativistic Theory of Gravitation," Physical Review 124: 925-935 ( Traduit par J. Fric).
[2] Chakraborty, S.K. 1982. "A non-Machian solution in Brans-Dicke theory," Journal of Mathematical Physics 24: 1359-1360.
[3] Dicke, R.H. 1964. "The Sun’s Rotation and Relativity," Nature 202: 432-425.
[4] Kolitch, Shawn. 1996. "Qualitative Analysis of Brans-Dicke Universes with a Cosmological Constant," Annals of Physics 246: 121-132.
[5] La, Daile and Steinhardt, P.J. 1989. "Extended Inflationary Cosmology," Physical Review Letters 62: 376-378.
[6] Mach, Ernst. 1912. The Science of Mechanics. English translation by Thomas McCormack (1942). Chicago: Open Court.
[7] Richman, Sam. 1996. "Resolving Discordant Results: Modern Solar Oblateness Experiments," Studies in the History and Philosophy of Modern Physics 27: 1-22.
[8] Straumann, Norbert. 2002. "The history of the cosmological constant problem." Invited talk at the XVIIIth IAP Colloquium: Observational and theoretical results on the accelerating universe, July 1-5 2002, Paris, France.*





Original: The Gravitational Theory of Brans and Dicke
By David John Baker :
http://www-personal.umich.edu/~djbaker/The Gravitational Theory of Brans and Dicke.htm


La théorie gravitationnelle de Brans et Dicke
par David John Baker
traduction libre par J. Fric qui endosse la totale responsabilité que des erreurs que sa traduction aurait pu introduire, commentaires personnels entre [..].
La théorie gravitationnelle de Brans et Dicke a été originalement  publiée dans la " Physical Review 1961", traduction disponible:

Quand il conçut la théorie de la Relativité Générale (RG) [ et la Cosmologie associée], Einstein espérait créer une théorie conforme au principe de Mach, qui stipule que la structure inertielle de l'Univers est complètement déterminée par  la distribution de matière. Quand on étudia les solution de l'équation d'Einstein, De Sitter montra en particulier que la théorie n'était pas entièrement conforme au principe de Mach, car elle autorisait des solutions possédant une structure inertielle sans contenu  matériel.
 C.Brans et R.H Dicke, pour palier ce défaut supposé de la RG, ont proposé une théorie relativiste de la gravitation [généralisation de la RG, en s'attachant à être conforme au principe de Mach ] , qui est devenue le principal concurrent de la RG. La théorie de Brans et Dicke (BD) décrit la gravitation par des équations scalo- tensorielles [ ce qui fait qu'elle n'est plus décrite de manière entièrement géométrique], qui inclut une constante gravitationnelle qui est différente en chaque point de l'espace temps qui dépend de la distribution des masses par rapport à ce point. Dans ce papier, je vais relater les origines de la théorie, voir si elle satisfait vraiment le principe de Mach et parler de sa renaissance récente liée à son intérêt dans la Cosmologie inflationniste.
Dans sa " Science de la mécanique" (Science of Mechanics), E. Mach (1912) réfuta l'idée d'espace absolu de Newton, qui assume que les référentiels inertiels sont ceux qui ne sont pas accélérés par rapport à l'espace [ absolu] lui même. Mach pensait que cette référence à l'espace lui même n'avait pas de sens physique, et il argumenta que les référentiels inertiels étaient ceux qui n'étaient pas en accélération par rapport à la position moyenne de toutes les masses de l'Univers. Ceci implique que dans une théorie physique correcte [ selon Mach ], un objet seul dans un Univers parfaitement vide n'est l'objet d'aucune force inertielle et ne peut pas ( par exemple) être en rotation, et qu'en l'absence de matière, l'espace  ne devrait avoir aucune structure inertielle. La Relativité Générale satisfait certains des critères du principe de Mach, la distribution de matière a une influence sur la détermination des référentiels qui sont sujets à des forces inertielles, mais ne satisfait pas ce principe dans d'autres domaines.
Par exemple, la solution de Kerr modélise un objet à symétrie sphérique tournant seul dans un Univers vide, une solution incompatible ( pour la partie asymptotiquement plate) avec le principe de Mach. De plus, la physique à l'intérieur d'une coquille sphérique massive (Intérieur de la solution de Schwarzschild), n'est pas sensible aux propriétés de la coquille, ce qui n'est pas le cas si l'inertie résulte de la matière environnante. Résumons en disant que, au mieux, la compatibilité de la RG avec le principe de Mach est fragmentaire, ce qui a conduit Einstein à déclarer " En, on ne devrait plus du tout parler du principe de Mach" (Straumann 2002, p. 3).
Brans et Dicke (1961) ont tenté de faire revivre le principe de Mach dans leur théorie scalo- tensorielle de la gravitation. Aux composantes tensorielles des équations du champ de la RG, ils ont ajouté un champ scalaire fqui détermine la valeur de la "constante" [ désormais variable]  gravitationnelle, avec  f = G-1,et une constante de couplage sans dimension w. Les équations du champ de la théorie de  Brans et Dicke sont alors:
                                                                                                                                                                                                            (1)
où Gij est le tenseur d' Einstein, Tij est le tenseur énergie impulsion [ ]f = f,i;i est le d'Alembertien du champ scalaire . Le terme du membre de gauche, est le premier terme du membre de droite sont familiers, à la différence qu'on a substitué  f-1 à G, et il apparaît clairement que si ce premier terme est prépondérant est l'inverse de la constante de gravitation de Newton, et la théorie  BD se ramène à la RG. Les deux derniers termes à droite sont nécessités  pour satisfaire la loi de conservation Tij;j = 0.
Le champ scalaire  f est spécifié par l'équation d'onde
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   (2)
Comme  est la trace du tenseur énergie impulsion, nous pouvons déjà voir que  f est déterminé par la distribution de matière et le paramètre  w. Une approximation champ faible pour f peut être calculée en posant  ff0 + e, où  f0 est une constante et  e est une petite perturbation. Alors le D'Alembertien de f est juste le d'Alembertien de la perturbation. Si on reporte dans l'équation d'onde (2), on obtient.

                                                                                                                                                                                                                                           (3)
Si on évalue  T à un temps donné, la solution à cette équation différentielle est:

                                                                                                                                                                                                                                                                                  (4)
Cette approximation montre que w détermine comment f varie en proportion tenseur énergie impulsion  [ le couplage], et donne donc les intensités relatives des contributions du tenseur  (RG) et du  scalaire à la métrique. Si   w est grand , f va être à peu près constant et ses dérivées , qui interviennent dans les termes additionnels du membre de droite de l'équation (BD) du champ (1) vont s'annuler. Pour  w grand le théorie BD se ramène à la RG. 
Brans et Dicke remarquèrent que leur théorie est incompatible avec le principe d'équivalence fort, le principe qui stipule qu'un référentiel chute libre est décrit localement par une métrique de Minkowski. Ceci vient du fait que le comportement physique  dans un référentiel chute libre, en particulier la valeur de la constante gravitationnelle locale dépend du champ scalaire qui varie selon la position. La théorie BD est cependant compatible avec le principe d'équivalence faible.
Voyons comment la théorie BD est plus conforme au principe de Mach sur l'exemple de la solution de Schwarzschild à l'intérieur d'une coquille sphérique de rayon R et de masse M. Postulons un espace plat et donnons comme condition au limite que f = 0 à l'infini, la solution à l'équation d'onde  (2) est
                                                                                                                                                                                                                                                                                               (5)
Nous voyons immédiatement que la constante gravitationnelle et donc la structure inertielle à l'intérieur de la sphère, va dépendre de la distribution de masse de la sphère .Les solutions  à l'intérieur d'une sphère en rotation deviennent également plus Machiennes dans la théorie BD. Avec une densité de matière uniforme à l'extérieur de la sphère,  l'effet Lense-Thirring change si on fait diminuer la densité à l'extérieur de la sphère,  de sorte que la précession des référentiels inertiels à l'intérieur se rapproche de la vitesse de rotation de la sphère lorsque la densité extérieure diminue.
On a supposé, pendant un temps qu'il n'existait pas de solution sans matière à la théorie BD, autre témoignage de la nature Machienne de la théorie. Pourtant ,S.K. Chakraborty (1982) obtint  apparemment une solution aux équations BD de champ (1) pour un espace vide,  Tij = 0. La solution de Chakraborty possède un tenseur de Ricci nul, mais un tenseur de Riemann non nul, donc ne représente pas un espace temps plat, mais est sans matière. Cette solution comprend un champ scalaire variable en temps et en espace, dont le d'Alembertien de f est nul, ce qui fait qu'il n'est pas nécessaire de disposer d'un tenseur énergie impulsion pour déterminer la métrique. Le résultat est un espace temps courbe, avec une métrique bien définie mais sans matière, où une particule de test serait soumise à des forces inertielles si elle devait s'écarter de géodésiques de type temps. En bref, un Univers non Machien est décrit par la théorie BD.
Mais la solution de  Chakraborty arriva assez tardivement dans l'histoire de la théorie BD, et de toute façon, en aucun cas,  une divergence avec le principe de Mach implique qu'une théorie n'est pas physiquement viable. Il reste à définir les types d'expériences permettant de discriminer les effets gravitationnels de la RG de ceux  la théorie BD. Certes, des expériences de pensée montrent des différences, que nous avons considérées, mais le monde physique doit nous permettre  par des observations de dire laquelle est la mieux vérifiée.
Dans la présentation de la Théorie, Brans et Dicke remarquèrent que la théorie scalo-tensorielle prédit une valeur différente de celle de la RG pour la précession du périhélie des orbites des planètes. Le rapport entre les deux prédictions est déterminé par la constante de couplage, donc une théorie BD avec un w élevé sera difficile à discriminer de la RG. Le rapport vaut
                                                                                                                                                                                                                                (6)
Pour Mercure, c'est la RG qui présente le meilleur accord avec les observations.
Alors , Dicke (1964) proposa une expérience pour retourner cet argument. Il remarqua que la précession du périhélie d'une planète dépend d'autres facteurs que ceux qui justifient la correction de la RG, en particulier l'aplatissement du Soleil. Le facteur d'aplatissement du Soleil, D, est défini par la différence entre le rayon du soleil dans un plan équatorial et celui dans un plan passant par les pôles: D = (re – rp)/r, où  r est le rayon moyen. Cet aplatissement va générer un moment quadripolaire dans le champ gravitationnel du Soleil, qui génère une précession additionnelle des orbites des planètes égale à:

                                                                                                                                                                          (7)
où  T est la période de l'orbite en siècles, a est le demi grand axe et e est l'excentricité. Cet argument avait été utilisé comme possibilité d'explication de la précession de Mercure, avant que celle de la RG soit adoptée. Alors qu'il fallait un aplatissement important, pour expliquer la totalité de la précession, Dicke  écrit qu'un aplatissement modeste de  (5x10-5) suffirait à expliquer les quatre secondes d'arc de différence entre les deux théories.
Donc si on mesurait cet aplatissement, comme la précession est la somme des effets, ceci aurait permis de valider la théorie BD ( qui présente ce déficit pour une faible valeur de w )  au détriment de la RG ( dont le résultat n'inclut pas cette correction) qui se trouverait de fait disqualifiée.
Malheureusement mesurer un aplatissement aussi faible se révèle très difficile. Dicke, associé à H. Hill et M. Goldenberg, construisit un appareil de détection en 1964 pour mesurer visuellement  l'aplatissement. Il s'agit d'un télescope pointé sur le Soleil, dont l'image est envoyée sur une cellule photoélectrique via une ouverture [ une fente ?] qui tourne. Si le soleil est aplati, alors la cellule photo-électrique va recevoir plus de lumière, donc émettre un signal plus fort, quand la fente est alignée avec l'axe équatorial. Une difficulté qui apparaît est de définir exactement le bord du soleil, pour cette expérience et aussi de mesurer un aplatissement  aussi faible. 
Dicke et Goldenberg relatèrent leurs résultats de mesure en 1967. Ils déclarèrent avoir décelé un aplatissement indiscutable du Soleil, et en calculant le moment quadripolaire associé, il déclarèrent que cela implique une précession complémentaire telle, sur l'orbite de Mercure, que la RG est donc désavouée (voir Richman, 1996). Les tenants de la  RG firent remarquer que la relation entre un aplatissement visuel et un "aplatissement" gravitationnel restait à établir. Par ailleurs en 1974, Hill publia ses propres résultats qui n'avaient décelé aucun aplatissement du Soleil. En l'absence d'expérimentations concordantes sur ce point, on s'efforça de recourir à d'autres tests pour étudier la validité de la théorie BD. Cette théorie prédit aussi des différences dans la valeur de la déviation des ondes électromagnétiques par la matière, la différence dépendant toujours du paramètre w. Des mesures de déviation d'ondes radio, émis par des sources astronomiques, par le Soleil furent réalisés en 1976,et cela permit de fixer la limite basse de  w entre 15 et 35. La théorie BD prédit également des retards plus grands pour les ondes Radio déviées par le Soleil. En 1979, une série d'expériences dans le domaine Radio éleva la limite basse de w à plus de  500 (Voir Richman, 1996). Cela semblait porter un coup fatal à la théorie sauf pour le cas quasi trivial de valeur de w, très grand où la théorie converge vers la RG dans pratiquement tous les cas.
La théorie scalo-tensorielle semblait avoir du plomb dans l'aile, mais après une décennie de traversée du désert, elle trouva un second souffle, en tant que partie intégrante de la théorie de l'inflation étendue. Les premières théories inflationnistes de Cosmologie,  qui décrivaient une période d'expansion très rapide dans l'Univers primordial, suivie par une transition de phase arrêtant cette expansion., se heurtaient au problème de " l'issue". Dans ces théories, il y avait une grande barrière énergétique  entre le " faux vide" qui provoque et contrôle l'inflation et le vrai vide qu'on retrouve à la fin de l'inflation, après la transition de phase . Le problème est que les régions de vrai vide ne se forment pas assez rapidement et que l'inflation ne s'arrête jamais. La théorie de l'inflation étendue put résoudre le problème de "l'issue" de l'inflation, en Cosmologie, en recourant à la théorie BD.
L'inflation étendue fut proposée par  D. La et P.J. Steinhardt (1989). Ils considérèrent les développements de la théorie BD dans ses limites expérimentales connues (w > 500) pour le problème de l'issue. Pour une valeur aussi élevée de w, le champ scalaire f  varie très lentement dans un Univers dominé par la matière ou le rayonnement. Mais comme La et Steinhardt le montrèrent, pendant l'ère inflationniste, quand la taille de l'Univers croît exponentiellement, f change rapidement même pour  w grand. Ceci signifie que alors que la période d'inflation se poursuit, la variation dans le temps du champ scalaire va transformer la loi exponentielle en loi de puissance, soit un taux d'expansion qui devient proportionnel à tk (pour k constant) au lieu de  et. Mais les bulles de vrai vide qui se forment à l'intérieur du faux vide vont croître à un rythme exponentiel. Cela leur permet de prendre le dessus sur l'expansion ( en loi de puissance) du faux vide et d'achever la transition de phase, mettant fin à la période d'expansion. Point intéressant, l'énergie cinétique du champ scalaire BD, va conduire à un léger accroissement dans la densité d'énergie totale de l'Univers, ce qui fait que le modèle d'inflation étendu ne conduit pas à une valeur résultante de W = 1. Dans l'inflation étendue ce paramètre est donné par
                                                                                                                                                                                                                                                                                    (8)
où  rc est la densité critique et H est la constante de Hubble. Ceci signifie que dans la période d'expansion actuelle dominée par la matière [ en fait par l'énergie sombre (70%) et la matière noire (26% ) selon WMAP] le paramètre d'expansion est :
                                                                                                                                                                                         (9)
Bien sur avec un w  aussi élevé que celui fixé par les observations, cela ne fait pas une grosse différence entre la valeur de  W prédite par la théorie de l'inflation étendue et le  W = 1, de la plupart des théories inflationnistes.
La et Steinhardt remarquèrent que l'inflation étendue ne nécessite pas une théorie scalo-tensorielle exactement conforme à celle proposée par Brans et Dicke. Les théories des cordes ou de  Kaluza-Klein qui tentent d'unifier les forces en ajoutant des dimensions spatiales supplémentaires, peuvent faire référence à une nouvelle formulation scalo- tensorielle  de  la gravitation qui comporte de nombreuses similarités avec la théorie BD, et une telle théorie scalo-tensorielle revisitée pourrait offrir la trame d'une explication pour l'inflation étendue. Il est aussi possible que la relation f et la distribution de matière ne soit pas exactement celui que Brans et Dicke ont spécifié dans leur équation d'onde (2). Par exemple, une variante possible de la théorie peut considérer f comme une fonction de l'énergie du faux vide, ce qui ferait qu'après la période d'inflation  f deviendrait constant, et la théorie scalo-tensorielle se comporterait exactement comme la RG.
La théorie de l'inflation étendue a été infirmée par des observations astrophysiques  (voir Kolitch, 1995). Cependant , S. Kolitch remarque que les théories d'inflation qui ont suivi, par exemple l'inflation hyper-étentue,  une modification de la théorie de  La et Steinhardt incorpore également une théorie gravitationnelle scalo-tensorielle. Il a écrit:
Les théories scalo-tensorielles de la gravitation ont connu un regain d'intérêt qui a conduit d'après des investigations récentes, à la génération de solutions exactes pour la cosmologie, ainsi qu'à des études qualitatives sur les modèles qui en résultent. On a aussi mis en évidence récemment qu'une ère inflationniste peut résulter directement de la dynamique d'un champ scalaire, sans recourir à un quelconque champ scalaire ou une constante Cosmologique. ( p.121).

Il semble que les théoriciens, au moins, ont trouvé beaucoup d'utilisations à la théorie BD, même avec la limitation d'une valeur de w bien plus élevée que Brans et Dicke ne l'imaginaient à l'origine.
Comme beaucoup de théories de la physique moderne ( telle que celle de Kaluza-Klein  qui commença par une explication erronée de l'électromagnétisme, mais posa les fondations de la théorie de cordes) , la théorie scalo-tensorielle de la gravitation est allée bien au delà des intentions de ses créateurs. Le rôle de la gravitation scalo-tensorielle dans le changement de phase de l'inflation étendue ne reflète en rien les motivations Machiennes qui ont animé Brans et Dicke. Malgré de grands changements d'interprétation, au cours des années, la théorie BD reste le meilleur concurrent de la RG.
Références
[1] Brans, C. and Dicke, R.H. 1961. "Mach’s Principle and a Relativistic Theory of Gravitation," Physical Review 124: 925-935 ( Traduit par J. Fric).
[2] Chakraborty, S.K. 1982. "A non-Machian solution in Brans-Dicke theory," Journal of Mathematical Physics 24: 1359-1360.
[3] Dicke, R.H. 1964. "The Sun’s Rotation and Relativity," Nature 202: 432-425.
[4] Kolitch, Shawn. 1996. "Qualitative Analysis of Brans-Dicke Universes with a Cosmological Constant," Annals of Physics 246: 121-132.
[5] La, Daile and Steinhardt, P.J. 1989. "Extended Inflationary Cosmology," Physical Review Letters 62: 376-378.
[6] Mach, Ernst. 1912. The Science of Mechanics. English translation by Thomas McCormack (1942). Chicago: Open Court.
[7] Richman, Sam. 1996. "Resolving Discordant Results: Modern Solar Oblateness Experiments," Studies in the History and Philosophy of Modern Physics 27: 1-22.
[8] Straumann, Norbert. 2002. "The history of the cosmological constant problem." Invited talk at the XVIIIth IAP Colloquium: Observational and theoretical results on the accelerating universe, July 1-5 2002, Paris, France.*
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