Les limites de la connaissance 3) le programme de Hilbert et les indécidables.
Partie 2) les indécidables.
Les limites de la connaissance 3) le programme de Hilbert et les indécidables
. Partie 2) les indécidables.
. Partie 2) les indécidables.
Préambule.
La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?
Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gôdel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr en mettant en cause toute notre manière de penser.
L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?
La certitude en mathématiques.
Les conclusions de l'article sur l'empirisme logique aboutissent à une vision du monde qui refuse au savoir toute certitude assurée et qui remet en cause le statut même de la réalité extérieure; la science n'est que le discours le plus simple et le plus commode en adéquation avec nos expériences; Les objets physiques ne sont que des entités intermédiaires que nous postulons pour que nos lois soient les plus simples possibles, mais rien ne nous garantit que leur existence est plus réelle que celle des dieux de l'antiquité.
Le programme finitiste de Hilbert.
L'idée de Hilbert est d'enfermer la totalité des mathématiques dans un système formel finitiste
Ces espoirs ont été ruinés par les théorèmes de Gödel les "indécidables".
Les indécidables
Philosophie du théorème de Godel.
Il existe clairement une différence entre vérité et prouvabilité contrairement à ce que pensait Hilbert. Il est donc impossible de construire un système formel complet qui constituerait le cadre axiomatisant l'ensemble des mathématiques et permettant de donner une preuve de toutes ses vérités. La vérité ne se laisse pas réduire aux preuves formelles et la sémantique n'est pas réductible à la syntaxe.
a) présentation.
Sa première partie stipule que "dans tout système formel assez puissant pour formaliser l'arithmétique, si le système est consistant, il existe une proposition indécidable, c'est à dire vraie mais qu'on ne peut pas prouver", contrairement à ce que souhaitait établir Hilbert. Il en existera en fait une infinité. La démonstration de Gödel consiste à exhiber une proposition universelle (cad du type Vn P(n)) concernant les nombres entiers dont on veut s'assurer qu'elle est vraie (cela découle de sa construction) et dont il est possible de montrer qu'elle n'est pas démontrable. La proposition en question st complexe et Gödel ne la donne pas sous une forme explicite, mais ce serait possible, bien que fastidieux. Contrairement à ce qu'on pourrait croire naïvement, il ne suffit pas d'ajouter cette formule aux axiomes pour que toute formule vraie devienne démontrable, car le théorème nous dit que, dans ce nouveau système, il existera aussi une formule indécidable et ainsi de suite à l'infini. On a vu qu'il s'agit d'incomplétude syntaxique, l'arithmétique étant sémantiquement complète en tant que théorie du premier ordre.
La deuxième partie du théorème stipule que "si le système est consistant, il est impossible de démontrer la consistance du système à l'intérieur du système lui-même". La signification de cette partie, plus difficile à saisir sera explicitée au cours de l'article. Cela ruine le deuxième espoir de Hilbert (prouver par des moyens formels finitistes que le système formel dans lequel on se place est consistant).
b) L'arithmétisation de la logique.
Cela consiste à pouvoir représenter par des formules arithmétiques des assertions métamathématiques qui portent sur des objets qui sont les formules ou les calculs arithmétiques ("2+3=5" ou "Vn, n puiss2 = 1+2+...+2n-1").
S'intéresser non pas directement aux formules mais à leurs propriétés (comme celle d'être une sous-formule ou d'être prouvable), c'est se placer à un méta-niveau. Ainsi, la phrase "la formule "2 + 3 = 5" est prouvable, mais la formule "3 x4 = 10" ne l'est pas" est une assertion non de l'arithmétique, mais de la méta-arithmétique. L'astuce de Gödel consiste à associer à une formule de l'arithmétique, de manière unique, à toute assertion du méta-niveau (méta-assertion). La méta-assertion "la formule "4x3 = 10 n'est par prouvable" est équivalente à "l'arithmétique est consistante", puisqu'on a vu que si un système est inconsistant, toute formule est prouvable. Si la formule qui représente une méta-assertion est vraie, alors la méta-assertion l'est aussi. C'est cette association d'une formule à toute méta-assertion, de sorte que la méta-assertion soit vraie si et seulement si la formule est vraie, qui effectue la représentation du méta-niveau dans le niveau.
L'idée de Gödel consiste d'abord à exhiber une formule arithmétique universelle G (cad de la forme Vn P(n) telle qu'elle représente l'assertion de méta-niveau "G n'est pas prouvable". Si le système est consistant, alors, si la formule G est démontrable, G est vraie et la méta-assertion qu'elle représente est vraie. Or, cette méta-assertion dit que la formule G n'est pas démontrable. Il y a donc une contradiction. Ainsi G n'est pas démontrable. Donc la méta-assertion est vraie et G est vraie sans démontrable. C'est la première partie du théorème qui qui montre l'existence de propositions indécidables.
La deuxième partie du théorème: la consistance d'un système formel concernant l'arithmétique n'est pas prouvable dans le système lui-même. Soit "Cons" la formule de l'arithmétique représentant la méta-assertion "l'arithmétique est consistante". La formule "Cons--> G" est donc vraie et il est possible de montrer qu'elle est démontrable. Supposons donc qu'on puisse démontrer "Cons", dans ce cas, par modus ponens, on a : Cons--> G; Cons; G serait une preuve de G, ce qui n'est pas possible.
Ceci n'est pas une démonstration rigoureuse. Gödel commence alors par montrer qu'il est possible d'assigner un nombre unique à chaque symbole, à chaque formule et à chaque preuve de l'arithmétique. Ce nombre est appelé son "nombre de Gödel". Tout nombre entier n'est pas forcément nombre de Gödel d'un objet, mais le procédé est tel qu'il existe une correspondance biunivoque entre les objets (symbole, formule, preuve), et leur nombre de Gödel. Toute assertion portant sur les objets du système peut être traduite en une formule portant sur les nombres de Gödel de ces objets. Par exemple, le fait pour un nombre de Gödel a d'être celui d'une formule (pas d'un symbole ou d'une preuve), s'exprime comme une propriété du nombre a. Il est donc exprimable par une formule portant sur a, notée F(a). Le fait pour une formule F d'être une sous-formule d'une formule G (assertion du méta-niveau), s'exprime par le fait que le nombre de Gödel de F (le ng de F) est un facteur de celui de G, ce qui est une formule arithmétique. De même, le fait pour une preuve de ng a d'être la démonstration de la formule de ng b s'exprime par une formule arithmétique entre a et b (très complexe). On note Dem (a;b) la formule arithmétique qui représente le fait que ng a est une démonstration de de la formule de ng b. Si elle ne la démontre pas, on l'exprime par --, Dem (a,b).
La consistance de l'arithmétique (équivalente au fait qu'il existe une formule non démontrable), peut donc s'exprimer par la formule: Eb F(b) ^Va --, Dem(a,b). Ainsi, par ce procédé, toute assertion de méta-niveau sera représentée de manière unique par une formule arithmétique telle que la méta-assertion sera vraie si et seulement si la formule associée est vraie.
c) Principales étapes de la démonstration de Gödel.
Première partie du théorème.
Il existe une infinité de manières d'assigner un nombre de Gödel aux objets d'un système. Supposons que le nombre de Gödel de la variable y soit 13. On considère alors l'expression sub (m,13,m), à laquelle on donne la signification: c'est le nombre de Gödel obtenu à partir de de la formule du ndg m quand on substitue à la variable qui porte de ndg 13 (cad y) le symbole représentant le nombre m (Le nombre 2 s'écrit "ss0" si le vocabulaire est limité à "0" associé au nombre 0 et "s" associé à la fonction successeur). On part de la formule du ndg m (100). On remplace dans cette formule toutes les occurrences de la variable y (13) par par le symbole représentant le nombre m (100). La formule obtenue porte un ndg qui est sub (100,13,100).
Il en résulte que sub (y,13,y) signifie: le ndg obtenu à partir de la formule de ndg y quand on substitue à la variable qui porte le ndg 13 (cad y) le symbole représentant le nombre y.
Considérons maintenant la formule A: Vx --, Dem (x,sub (y,13,y)) qui signifie que la formule dont le ndg est sub (y,13,y) n'est pas démontrable. Cette formule A possède un ndg. Supposons que ce soit n. Substituons dans la formule A le symbole du nombre n à la variable de ndg 13(cad y). On obtient: Vx Dem(x, sub (n,13,n)) qu'on appellera formule G. Quel est le ndg (nombre de Gödel) de cette formule? C'est sub (n,13,n) puisque sub (n,13,n) est le ndg de de la formule obtenue à partir de la formule de ndg n, cad de la formule A en y substituant le symbole représentant le nombre n à la variable y. Or que dit la formule G? Elle dit que la formule de ndg sub (n,13,n), c'est à dire elle-même n'est pas démontrable. C'est la proposition universelle G évoquée au chapitre précédent qui représente la méta-assertion G n'est pas prouvable. On a donc construit une formule mathématique telle que le sens de la méta-assertion associée est "la formule qui me représente n'est pas prouvable). On pourra ainsi avoir l'impression que le théorème est démontré, mais le raisonnement présenté est de nature métamathématique. Il n'est donc pas suffisant pour la rigueur qui a été fixée de en exigeant que toute démonstration puisse se faire sous la forme d'une dérivation formelle à l'intérieur du système.
Nous devons donc maintenant démontrer formellement (et non pas sémantiquement) que G n'est pas prouvable si le système est consistant. La preuve est la suivante. Si G l'était, il existerait une suite de formules qui est une démonstration de G. soit k le ndg de cette démonstration. La formule Dem (k, sub (n,13,n)) est donc vraie et il est possible de montrer que dans ce cas, elle est démontrable. On peut en dériver Ex Dem (x, sub (n,13,n)) qui est équivalente à --,Vx --, Dem (x, sub (n,13,n)) c'est à dire à --, G. On a donc une démonstration de G et une démonstration de --, G, ce qui est impossible si le système est consistant. Donc si le système est consistant, G n'est pas prouvable, et réciproquement si --, G est démontrable, alors G l'est aussi. Donc, ni G ni --, G ne sont démontrables. Mais G est vraie puisqu'elle exprime justement qu'elle n'est pas démontrable, c'est ce qu'on appelle un indécidable.
Deuxième partie du théorème:
On vient de montrer que la méta-assertion "si le système est consistant alors il existe une formule vraie non démontrable" est vraie. Elle peut être à son tour représentée par la formule: Eb F(b) ^ Va --, Dem (a,b) --> Vx --, Dem(x, sub(n,13,n)), soit: "Cons--> G". On peut montrer que cette formule est démontrable. Supposons alors que "Cons" soit démontrable, il s'ensuivrait par modus ponens (comme vu dans le paragraphe précédent) que G le serait aussi, ce qui n'est pas possible en raison de la première partie du théorème.
d) Philosophie du théorème de Godel.
Il existe clairement une différence entre vérité et prouvabilité contrairement à ce que pensait Hilbert. Il est donc impossible de construire un système formel complet qui constituerait le cadre axiomatisant l'ensemble des mathématiques et permettant de donner une preuve de toutes ses vérités. La vérité ne se laisse pas réduire aux preuves formelles et la sémantique n'est pas réductible à la syntaxe. De plus, il n'est pas possible non plus de montrer la consistance d'un système formel contenant l'arithmétique par des procédés finitistes qui se laissent représenter à l'intérieur du système. Cela ne signifie pas cependant que qu'il soit impossible de de démontrer la consistance d'un tel système formel, des preuves faisant appel à des procédés métamathématiques extérieurs au système peuvent être construites. On peut prouver rigoureusement que la formule non démontrable est vraie par des moyens sémantiques extérieurs au système. Mais le but de Hilbert était d'obtenir un preuve syntaxique afin d'éliminer tout recours à l'intuition. Il en résulte que les moyens utilisés par ces moyens extérieurs au système sont à leur tout susceptibles d'être mis en doute...
Nota: On sait maintenant qu'il est possible d'obtenir une preuve syntaxique de consistance de l'arithmétique (la 1ère date de 1936 par Gentzen). Elle fait appel au principe d'induction transfinie jusqu'à l'ordinal epsilon0, le plus petit ordinal venant après la suite des ordinaux oméga...Mais elle n'est pas finitiste au sens strict et ne se laisse pas représenter dans l'arithmétique.
2) Les indécidables.
a) Présentation.
On a longtemps considéré que le résultat de Gödel n'a aucune conséquence sur les mathématiques que présentent réellement les mathématiciens. Dieudonné écrit en 1982: "la proposition indécidable établie par Gödel paraît très artificielle, sans lien avec aune partie de la théorie des nombres actuelle; sa principale utilité était d'établir l'impossibilité d'une preuve de la non-contradiction de l'arithmétique. Parmi les nombreuses questions classiques non résolues de la théorie des nombres, on n'a pas encore, à ma connaissance, étable que l'une d'elle est indécidable." La formule n'est pas explicite et beaucoup de mathématiciens pensaient qu'en dehors ce type de formules expressément construites à cet effet, les énoncés normaux étaient prouvables ou réfutables. Mais en 1977,Jeff Paris et Harrington ont publié un énoncé qu'il est impossible de démontrer dans l'arithmétique de Peano du premier ordre et, comme le dit Girard, "l'incomplétude est descendue sur terre."
Un indécidable dans un système est un énoncé qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans ce système. Il n'est pas forcément remarquable, comme par exemple le cinquième postulat d'Euclide. Ici, l'indécidabilité provient de la pauvreté du système initial. Dans d'autres cas, un système semble intuitivement suffisant pour formaliser un domaine où, malgré tout, certains énoncés restent indécidables (ex en théorie des ensembles). On est alors conduit à admettre que dans ce domaine, l'intuition reste insuffisante pour fixer la valeur de vérité des énoncés. Le cas le plus étonnant est celui des énoncés vrais dans le domaine mais non démontrables, comme les indécidables de Gödel pour l'arithmétique.
b) Les indécidables de la théorie des ensembles.
L'hypothèse du continu (HC) est un indécidable: N1= 2 puissance N0, ce qui signifie "il n'existe aucun infini compris strictement entre l'infini des nombres entiers et celui des nombres réels." Cantor ne réussit jamais à démontrer cet indécidable dans la théorie des ensembles ZF (de Zermelo-Franklel). Gödel a montré en 1938 que la théorie obtenue en ajoutant HC à ZF est consistante si ZF l'est, puis Cohen a montré en 1966 qu'il en est de même si on ajoute la négation de HC à ZF. Il en est de même pour l'axiome de choix AC qui stipule qu'étant donné une famille d'ensembles, on peut former un nouvel ensemble qui contient exactement un élément de chaque ensemble de la famille. Ce qui signifie que les axiomes de ZF qui à priori semblent suffisants pour caractériser notre concept intuitif d'ensemble ne le sont pas vraiment.
Il pourrait sembler simple d'y remédier en en s'interrogeant s'ils sont vrais ou faux tels que nous les concevons puis en rajoutant l'énoncé ou sa négation comme axiome supplémentaire. Pour HC cependant il est très difficile d'avoir une intuition directe convaincante de sa vérité ou de sa fausseté. Aucun mathématicien n'a pu exhiber une bonne raison de penser que HC doive être vraie (ou fausse) sur les ensembles qui sont ceux "que nous avons en tête".Cela paraît plus simple pour l'axiome de choix. Il semblerait en effet qu'il énonce une extension aux ensembles infinis d'une propriété parfaitement exacte pour les ensembles finis. Donc pourquoi ne pas l'admettre comme axiome supplémentaire sans se poser de questions? Mais, et Zermelo l'a fait en 1904, on peut montrer qu'il est équivalent à l'énoncé suivant: "Tour ensemble peut être bien ordonné" (quand on peut le munir d'une relation d'ordre tel que tout sous-ensemble non vide possède un plus petit élément. Et sous cette forme il implique que l'ensemble R (les réels) peut être bien ordonné alors qu'intuitivement on pense le contraire. Actuellement, l'hypothèse du continu AC est acceptée par la majorité des mathématiciens.
Tout ceci montre la difficulté qu'il y a à enfermer dans un système d'axiomes toutes les caractéristiques d'une conception intuitive. C'est un aspect majeur du débat entre mathématiciens réalistes et ceux qui ne la sont pas. Pour les réalistes, HC est vraie ou fausse en ce qui concerne les vrais ensembles et nous finirons par découvrir ce qu'il en est. Alors, on ajoutera HC (ou sa négation) à ZF aux axiomes de ZF, ce qui permettra de d'obtenir un système décrivant mieux les "vrais ensembles" que ZF seul. Pour les non-réalistes, il n'y a pas de vrais ensembles. Les objets mathématiques ne sont que des constructions mentales et l'indécidabilité n'est que le symptôme du fait que nos intuitions ne suffisent pas à caractériser pleinement les ensembles infinis. Pour eux, il n'y a que deux types d'ensembles, ceux qui satisfont HC et ceux qui ne la satisfont pas. Il en est de même pour les grands cardinaux . Les accepter ou non est une matière d'appréciation personnelle. Mais l'itération à l'infini sur les grand cardinaux par exemple, revient à s'éloigner de plus en plus de l'intuition immédiate, et on a prouvé que certains de ces axiomes sont contradictoires.
c) Les indécidables de Paris et Harrington (1977).
C'est la découverte d'une question simple et intéressante, ne dépendant pas d'un codage numérique de notions logiques, et qui est indécidable (ce qui montre à quel point les logiciens ont considéré comme important le fait d'exhiber un énoncé indécidable d'arithmétique ne dépendant pas directement d'une construction ad hoc). Cette découverte est le théorème de Ramsey fini. L'énoncé en est complexe, mais il est explicite contrairement à la formule de Gödel, qu'il serait effroyablement long et fastidieux d'expliciter. C'est une variante de ce théorème qui a été démontrée en 1928, en dehors de toute considération logique. Paris et Harrington en ont prouvé l'indécidabilité dans l'arithmétique de Peano du premier ordre. D'autres énoncés du même type, comme la forme finie du théorème de Kruskal et Friedman ont été publiés. Ils sont un premier pas vers des énoncés indécidables issus directement de l'arithmétique, mais ils sont suffisamment marginaux pour que de nombreux mathématiciens considèrent toujours que les indécidables n'interviennent pas dans l'arithmétique courante. Si le grand théorème de Fermat a été démontré en 1993, il reste toujours la procédure de Goldbach non démontrée...
d) Les équations diophantiennes.
C'est l'objet du dixième parmi les 23 problèmes irrésolus que Hilbert a énoncés au congrès international des mathématiciens de 1900. Une équation diophantienne est une équation de la forme P(x1, x2,... xn = 0) où P est un polynôme à coefficients entiers. Par exemple, 3x puiss 4 + 8 y puiss 7 + 5 z puiss 9 - 8 = 0 est une équation diophantienne dont x =1, y = 0 z= 1 est solution. Hilbert demandait que soit trouvé un algorithme permettent de décider pour toute équation de ce type si elle avait des solutions entières ou pas. Matijasevic a démontré en 1970 qu'un tel algorithme n'existait pas. Ici, il ne s'agit pas d'un énoncé, mais d'un problème indécidable: il n'existe aucun algorithme permettant de le résoudre en général. D'autre part, il existe des équations simples (qui s'écrivent sous forme de polynômes) dont sait à la fois qu'elles n'ont pas de solution et qu'il est imposssible de le démontrer dans le système dans lequel elles ont été formulées.
e) Les indécidables de l'informatique et de la théorie algorithmique de l'information.
Un ordinateur fonctionne en exécutant des programmes. On attend qu'il fournisse un résultat et qu'il s'arrête au bout d'un moment (si possible pas trop long?). Dans des cas simples, on sait que l'ordinateur fonctionnera sans s'arrêter jusqu'à la fin des temps, par exemple si le programme contient la boucle infinie suivante: "Instruction 1: a = 10. Instruction 2: tant que a > 0 faire a = a + 1". Il serait très utile de posséder une méthode générale permettant de savoir pour tout programme s'il s'arrêtera ou pas. Il est possible de montrer qu'une telle méthode n'existe pas (ni aucun algorithme, ni aucun programme). Ce problème, dénommé "problème de l'arrêt" a été prouvé indécidable par Turing en 1936, au même sens que la résolution des équations diophantiennes).
La théorie algorithmique de l'information a été élaborée par Kolmogorov, Ray Solomonov et Chaitin dans les années 1960. Son objet est l'étude de la complexité des objets finis comme les suites de nombres. La complexité algorithmique d'un objet est la longueur du plus petit programme informatique capable de l'engendrer. Etant donné s, une suite finie de 0 et de 1, on note K(s) sa complexité. On peut alors montrer que dans tout système formel S, il n'est possible de prouver qu'un nombre fini d'énoncés du type "K(s) = n". En d'autres termes, quelque soit le type de système formel dans lequel on se place, tous les énoncés de ce type, sauf un nombre fini, sont indécidables. Ce résultat extrêmement surprenant signifie que dans presque tous les cas, on ne peut prouver que la complexité d'uns suite donnée est égale à une certaine valeur.
Autre exemple d'indécidabilité: le nombre OMEGA de Chaitin. Ce nombre est défini comme la probabilité pour qu'un ordinateur à qui on fait exécuter un programme tiré au hasard finisse par s'arrêter. Ce nombre a des propriétés étranges. On peut montrer que la connaissance de ses mille premiers digits permettrait de résoudre la plupart des conjectures mathématiques. Malheureusement, il est aléatoire et incompressible, ce qui signifie qu'aucun algorithme ne peut permettre de calculer un par un ses digits. Ce nombre a des propriétés étranges. On peut montrer que la connaissance de ses mille premiers digits permettrait de résoudre la plupart des conjectures mathématiques. Malheureusement, il est aléatoire et incompressible, ce qui signifie qu'aucun algorithme ne peut permettre de calculer un par un ses digits. On peut même montrer qu'aucun système formel ne permet d'en calculer plus qu'un nombre fini. Tous les énoncés du type "la nième décimale de OMEGA vaut 1 sont indécidables à partir d'un certain rang.
3) Conclusion.
La position confortable consistant à croire que les mathématiques permettent de prouver toutes les assertions vraies, que les méthodes de raisonnement utilisées sont incontestables et qu'il est possible de prouver qu'elles le sont doit être rejetée. De plus, comme le dit Hourya Sinacoeur: "S'il est relativement aisé de reconnaître la validité d'un résultat à partir d'hypothèses admises, il l'est beaucoup moins de se mettre d'accord sur les hypothèses que l'on peut ou doit admettre." Selon l'opinion philosophique qu'on adopte (réalisme, idéalisme, constructivisme, formalisme, intuitionnisme), on adoptera ou on refusera certains objets mathématiques et certaines méthodes de démonstration. Ce qui importe, c'est qu'on doit abandonner la tentation fondationnaliste d'évacuer toute incertitude en logique et en mathématiques, comme elle l'a été dans les sciences empiriques.
Les premières incertitudes sont de type philosophique et sont la manifestation de différences de position métaphysique. Croire que les objets mathématiques ont une existence réelle (bien que de nature différente), que les arbres ou les tables, est une croyance qui se situe à un niveau tellement fondamental que les adversaires (qui croient que ce ne sont que des constructions humaines) ne peuvent être convaincus, et réciproquement. De la même manière, accepter les ontologies de plus en plus engagées et donc risquées (ne croire qu'au fini, à l'infini actuel dénombrable, puis croire en l'existence de grands cardinaux de plus en plus grands), est matière de conviction personnelle fonction d'arguments favorables ou défavorables. Ce qu'il faut en retenir, c'est que les mathématiques ne peuvent trancher définitivement (du moins pour le moment) et il est peu probable que cette incertitude puisse être un jour éliminée définitivement.
Les deuxièmes sont des incertitudes techniques, sur lesquelles tous les mathématiciens sont d'accord. Situées à l'intérieur de cadres précis, elles signifient qu'il n'existe pas de cadre englobant la totalité des mathématiques dans lequel il est possible de prouver de manière certaine toute vérité. D'autre part, pour montrer la consistance, on est obligé d'avoir recours à des méthodes qui sortent de ce cadre et qui sont hors du champ de consistance qu'elles ont concouru à prouver. On est ainsi obligé de nouveau de sortir du cadre et ainsi à l'infini. De plus, dans tout cadre suffisamment puissant, il existe des vérités qu'on ne peut prouver formellement. Il y a donc deux niveaux d'incertitude. Le premier, de nature philosophique est celui qui concerne le cadre qu'il convient d'adopter (la débat est toujours ouvert et n'est pas prêt d'être clos). Le second est celui qui subsiste à l'intérieur de tout cadre et sur lequel les mathématiciens sont tous d'accord. Comme le dit Ladrière: "le formalisme ne peut recouvrir adéquatement le contenu de l'intuition et, en ce sens, l'idée d'une formalisation totale doit être considérée comme irréalisable."
On ne doit cependant pas en retirer l'impression que que ces incertitudes permettent d'accepter n'importe quel point de vue. Elle sont une preuve éclatante de l'efficacité du raisonnement scientifique. On doit éliminer le conceptions intuitives naïves qu'on pourrait avoir à priori et certaines idées séduisantes qui ne sont pas cohérentes. Cela permet de délimiter les contours de ce qu'il est possible de penser, croire ou construire. L'univers du discours est beaucoup complexe que ce que l'intuition nous laisse croire et nous en apercevons les limites. On a évoque le paradoxe selon lequel le raisonnement scientifique est capable de cerner ses propres limites. Mais il n'est qu'apparent: une méthode peut être utilisée pour montrer qu'elle n'est pas utilisable dans un domaine. Il suffit de l'appliquer de toutes manières possibles et de constater qu'elle n'aboutit pas au résultat recherché. Bien que négatif, ce résultat doit être compris comme uns connaissance supplémentaire et non comme échec de la raison. C'es là le sens de ces limites en mathématique et en logique.
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