Evariste Galois, la théorie des groupes et la théorie de l'ambiguïté partie historique
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)
2011 est l’année du Bicentenaire de la naissance de deux héros romantiques : "Franz Liszt et Évariste Galois. "Tous deux, d’une précocité déconcertante, ont révolutionné leur domaine. Si Liszt est fêté comme un héros national en Hongrie, Galois n’est pas en reste en France — lui qui croyait que la patrie ne retiendrait pas son nom, et qui est finalement devenu l’une des gloires françaises les plus solides ! Le destin tragique de Galois, l’incroyable contraste entre la brièveté de sa vie et l’éternité de l’œuvre qu’il laisse, le fait qu’un garçon si jeune ait pu bouleverser la mathématique tout entière et la physique avec, tout cela fait rêver." Pour le bicentenaire de Galois, une conférence de Alain Connes a été organisée le 29 novembre 2011 à la mémoire de ce grand mathématicien: Galois et la théorie de l'ambiguïté à l'académie des sciences. Dans cette académie, avait déjà eu lieu une autre séance sur la théorie de l'ambiguïté le13 juin 2006 lors de la Réception des Membres élus en 2005 par Jran-Pierre Ramis, La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques.
Je lis cette conférence aujourd'hui alors qu'après avoir étudié l'électro-dynamique quantique je m'intéresse aux théories de jauge et aux théories des cordes (voir tous mes liens en fin d'article où j'ai beaucoup consulté les formations dues à Luc Marleau: feynman.phy.ulaval.ca. Cela me fait me souvenir que Galois est un jalon important dans la conquête de la science mathématisée par des grands génies tels que Galilée (considéré comme l'initiateur de la méthode scientifique, et qui, dans le domaine des mathématiques appelait de ses vœux, ce « langage décrivant la nature » pour « l'écriture mathématique du livre de l'Univers »), puis par Newton.et Einstein. L’idée galoisienne « Il existe pour ces sortes d’équations
un certain ordre de considérations métaphysiques
qui planent sur les calculs
et qui souvent les rendent inutiles. »
« Sauter à pieds joints sur les calculs,
grouper les opérations, les classer
suivant leur difficulté et non suivant leur forme,
telle est selon moi la mission des géomètres futurs. » était une intuition qui a fécondé les idées modernes de symétrie. Dans le chapitre 3-2-2 de ce site, il est écrit: "L’idée galoisienne de correspondance entre symétries d’une structure mathé-matique et treillis de ses sous-structures a essaimé dans d’autres domaines des
Mathématiques. L’un des premiers et plus célèbres avatars est le « programme d’Erlangen » de Felix Klein, qui jette un pont entre Géométrie et Théorie des groupes :
il s’agit de classifier les géométries de l’espace à n dimensions où le « mouvement
d’une figure invariable est possible » Cette notion de symétrie a été sublimée par Emmy Noether, décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Elle a révolutionné les théories des anneaux, des corps et des algèbres. En physique, le théorème de Noether, établi en 1918, explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation. Il exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations appelées symétries. Ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ». Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps. En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d'invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vues distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution. La notion de symétrie et d'invariance en physique associée à la théorie des groupes a abouti aux théories actuelles depuis la théorie de la relativité, les théories de jauge et la théorie quantique des champs, au modèle standard de la physique des particules et à la théorie de grande unification qui sera alors la dernière pièce de l'édifice constitué par le modèle standard qui incorpore les trois interactions dans une théorie unifiée basée sur un groupe de jauge 
. Mais pour concilier la physique quantique et la Relativité Générale, les physiciens misent maintenant sur les théories des cordes, et d'autres théories comme la gravité quantique, la gravité quantique à boucles, voire "et si le temps n'existait pas? " ou "vers la physique de demain"...
La fécondité des notions dont Galois avait eu l'intuition est extrême, mais se doutait t-il de l'impact qu'elles auraient sur la Connaissance humaine? A t-elle des limites? Peut-on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?
Mais voyons maintenant ce que dit Alain Connes de la théorie de l'ambiguïté.
. Mais pour concilier la physique quantique et la Relativité Générale, les physiciens misent maintenant sur les théories des cordes, et d'autres théories comme la gravité quantique, la gravité quantique à boucles, voire "et si le temps n'existait pas? " ou "vers la physique de demain"...La fécondité des notions dont Galois avait eu l'intuition est extrême, mais se doutait t-il de l'impact qu'elles auraient sur la Connaissance humaine? A t-elle des limites? Peut-on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?
Mais voyons maintenant ce que dit Alain Connes de la théorie de l'ambiguïté.
Alain Connes:
Conférence du 29 novembre 2011 sur Évariste Galois et la théorie de l'ambiguïté:
Conférence du 29 novembre 2011 sur Évariste Galois et la théorie de l'ambiguïté:
1) Alain Connes commence par une brève chronologie que nous compléterons grâce aux données fournies dans le site www2.ac-lyon.fr
Chronologie I – 25 Octobre 1811, naissance de Galois.
– Avril 1829, mort d’Abel, génial, mais maudit, mort à 26 ans.
--, A 16 ans, trop brillant sans doute, et peut-être un peu brouillon..., Galois fut incompris par Poisson qui rejeta les travaux qu'il voulait présenter à l'Académie des sciences de Paris (1831). Auparavant son mémoire fut perdu par Cauchy en 1827, et ignoré par Fourier (qui mourut en 1830).
– 25 Mai, 1er Juin 1829, Cauchy présente les premiers travaux de Galois à l'académie.
– Juillet 1829, suicide du père de Galois, échec à polytechnique, mais reçu à l’école préparatoire ENS (appelée École préparatoire de 1826 à août 1830 et d’un niveau bien inférieur à l’École polytechnique) située dans les locaux de Louis-le-grand).
– 18 janvier 1830. Cauchy, qui devait présenter ce jour le mémoire de Galois devant l’Académie des sciences, est souffrant, et ne vient pas à la séance. Par la suite, il conseille à Galois de réviser son mémoire et de le présenter au Grand prix de mathématiques que l’Académie doit décerner en juin. (La lettre de Cauchy prouve que Cauchy possédait encore les deux mémoires de Galois et qu'il avait rédigé un rapport à leur sujet. Elle contredit l'affirmation d'après laquelle il aurait perdu ces écrits)
– Février 1830, Sur les conseils de Cauchy, Galois rédige et présente à l’Académie des Sciences un nouveau mémoire : Mémoire sur les conditions de résolution des équations par radicaux, destiné à concourir au Grand prix de Mathématiques. Augustin Cauchy remet à Joseph Fourier, qui était secrétaire perpétuel de l’académie, le Mémoire de Galois après avoir demandé à son auteur de le réviser pour qu’il concoure au Grand Prix des Sciences Mathématiques
– Avril 1830. Gallois fait paraître dans le Bulletin de Férussac, un article intitulé : Analyse d'un mémoire sur larésolution algébrique des équations.
– 16 mai 1830. Mort de Fourier, secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, qui était chargé d’examiner le mémoire de Galois. Le mémoire s’égare et Galois se trouve donc éliminé du grand prix de mathématiques. Apprenant la perte de son mémoire, Galois écrit : «Mais la perte de ce Mémoire est une chose très simple. Il était chez M. Fourier qui devait le lire, et, à la mort de ce savant, le Mémoire a été perdu.»
– Juin 1830. Galois fait paraître dans le bulletin de ferrussac du même mois : Notes sur la résolution deséquations numériques, et l’important article : Sur la théorie des nombres. Il songe à une publication générale, rédige un nouveau Mémoire sur le même sujet, écrit le Discours Préliminaire.
Chronologie II – Mais, le 28 Juin 1830, Le Grand Prix des sciences matématiques est attribué à Abel et Jacobi.
– 27,28, 29 juillet 1830, Les trois glorieuses, Charles X est renversé (La Révolution de Juillet est la deuxième révolution française après la révolution française de 1789, qui met en faveur un nouveau roi, Louis-Philippe, qui prend le pouvoir d'une nouvelle monarchie, la monarchie de Juillet, succédant ainsi à la Seconde Restauration. Cette révolution, qui est en fait une révolte, se déroule sur trois journées, les 27, 28 et, dites « Trois Glorieuses »), Cauchy suit Charles X en exil et part à Turin où sur invitation du roi de Piémont, Charles-Albert, il occupe, pendant 2 ans, la chaire nouvellement créée de physique sublime à l'université de Turin et en janvier 1832. ll effectue un voyage à Rome où il est reçu par le pape Grégoire XVI.
Les élèves de l’École normale ont été consignés par le directeur, Joseph-Daniel Guigniaut, et n’ont pu participer aux combats, à l’inverse des polytechniciens qui prennent une part active aux événements.
– Août-décembre 1830. Galois passe ses examens de licence. Il se lie à des étudiants républicains (Raspail, Blanqui, Napoléon Aimé Lebon, etc.), s’inscrit le 10 novembre à la Société des amis du peuple, et entre dans les artilleurs de la Garde nationale.
– Décembre 1830. Les Annales de Gergonne font paraître ses Notes sur quelques points d'analyse, c'est sa dernière publication.
– 3 décembre 1830. Galois dénonce dans la Gazette des Écoles l’attitude de Guigniaut pendant les Trois Glorieuses. La rédaction de la Gazette publie la lettre sans signature, mais l’auteur ne fait aucun doute. L’affaire fait scandale et occupe la presse.
– 10 décembre 1830. Les normaliens envoient à la Gazette des Écoles une lettre dans laquelle ils se désolidarisent de Galois.
– 22 décembre 1830. Verdict du procès des ministres de Charles X. Émeutes républicaines à Paris. Dix-neuf artilleurs de la Garde nationale sont arrêtés pour rébellion.
– 30 décembre 1830. Réponse de Galois à ses camarades de l’École normale, dans la Gazette des Écoles.
– 2 janvier 1831. La Gazette des Écoles publie sa Lettre sur l'enseignement des sciences, sous les initiales E. G.
– 4 janvier 1831. Arrêt du Conseil royal de l’Instruction publique, où siègent Cuvier, Poisson, Thénard, Cousin et Villemain, prononçant que « l’élève Galois quittera immédiatement l'École Normale. Il sera statué ultérieurement sur sa destination. »
– 13 janvier 1831. Galois ouvre un cours public d’algèbre supérieure à la librairie Caillot du 5 rue de la Sorbonne: «Évariste Galois, ancien élève de l'École normale, donnera une série de cours d'algèbre pour les jeunes étudiants. Ce cours aura lieu tous les jeudis à une heure et quart, il est destiné aux jeunes gens qui, sentant combien est incomplète l'étude de l'algèbre dans les collèges, désirent approfondir cette science. Le cours se composera de théories dont quelques-unes sont neuves, et dont aucune n'a jamais été exposée dans les cours publics. Nous nous contenterons de citer une théorie nouvelle des imaginaires, la théorie des équations qui sont solubles par radicaux, la théorie des nombres et les fonctions elliptiques traitées par l'algèbre pure. Les cours commenceront le jeudi 13 janvier, chez Caillot, librairie, rue de la Sorbonne, numéro 5.» Une quarantaine d’élèves assistent au premier cours, une dizaine au second, quatre au troisième. Ce fut le dernier cours de Galois.
– 17 janvier 1831. Sur l’invitation de Poisson, Galois présente à nouveau un Mémoire sur la résolution des équations, remis le 17 janvier à l’Institut. Le 31 mars, il écrit au président de l’Académie des sciences afin de presser le rapport de Poisson sur son mémoire. Agitation au Quartier latin.
– Avril 1831. Les 19 artilleurs de la Garde nationale arrêtés en décembre 1830 sont acquittés
– 9 mai 1831 Galois arrêté: Banquet au restaurant «Aux Vendanges de Bourgogne». La Société des amis du peuple fête l'acquittement des artilleurs au «Procès des dix-neuf», Galois éméché lève un toast à Louis-Philippe avec un poignard acheté trois jours plus tôt. Alexandre Dumas, qui assiste par hasard à cette scène, s'éclipse aussitôt, et la racontera plus tard. Galois est arrêté le lendemain à Bourg-la-Reine, et déféré à la prison Sainte-Pélagie.
– 15 juin 1831. Procès en Cour d’assises ; il est acquitté.
– 4 juillet 1831. Sur le rapport de Poisson, contresigné par Lacroix, l’Académie refuse d’approuver le Mémoire sur la résolution des équations.
– 14 juillet 1831.
Au cours d’une manifestation républicaine, interdite par la police, Évariste Galois et son ami
Duchâtelet sont arrêtés sur le Pont-Neuf en tête d’un petit groupe d’étudiants, et inculpés de
port illégal d’uniforme et de port d’armes prohibées.
– Juillet-octobre 1831. Galois est détenu à Sainte-Pélagie, prison réservée aux politiques, il y côtoya Gérard de Nerval et François-Vincent Raspail et Blanqui. Il prend connaissance du
rapport de Poisson sur son mémoire. Les
29 et 30 juillet, insurrection des prisonniers politiques ; Galois est mis provisoirement au
cachot. Dans des lettres à une amie, F.-V. Raspail fait une description vivante et chaleureuse de
son jeune compagnon.
– 23 octobre 1831. Galois est condamné en Police correctionnelle à 6 mois de prison, Du châtelet à 3 mois. Jugement confirmé en Cours d’appel le 3 décembre 1831. Novembre 1831. Émeutes à Lyon. Décembre 1831-mars 1832. Détention à Sainte-Pélagie. Il reçoit les visites d’Auguste Chevalier, de sa sœur, de sa tante Céleste Marie Guinard.
– Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 32, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.
Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 1832, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.
– 23 octobre 1831. Galois est condamné en Police correctionnelle à 6 mois de prison, Du châtelet à 3 mois. Jugement confirmé en Cours d’appel le 3 décembre 1831. Novembre 1831. Émeutes à Lyon. Décembre 1831-mars 1832. Détention à Sainte-Pélagie. Il reçoit les visites d’Auguste Chevalier, de sa sœur, de sa tante Céleste Marie Guinard.
– Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 32, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.
Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 1832, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.
– 16 mars 1832.
En raison de l’épidémie de choléra qui commence à sévir à Paris, Galois est transféré à la
maison de santé du docteur Faultrier, rue de Lourcine, n° 84 (actuelle rue Broca), où il va
purger le restant de sa peine. Le choléra se déclare dans Paris.
29 avril 1832.
Libéré ce jour-là, Galois continue d’habiter chez le sieur Faultrier. Il reprend ses travaux
mathématiques, rédige quelques essais, et pense collaborer à la Revue encyclopédique. Il
rencontre une jeune fille prénommée Stéphanie (Poterin du Motel ?), dont il tombe amoureux,
et qui va l’éconduire.
– 14 mai 1832. Lettre de rupture de Stéphanie. 25 mai 1832. Évarsite écrit une lettre désespérée à Chevalier, forme des projets pour aller dans le Dauphiné, et se vouer à ses travaux mathématiques.
– 26, 27 ou 28 mai 1832. Galois est provoqué en duel après la rupture amoureuse et dans des circonstances fort obscures, après avoir épuisé tout moyen de conciliation. On ignore le nom de son adversaire (Duchâtelet, Pescheux d’Herbinville ?).
– 29 mai 1832. À la veille du duel, Galois écrit (au moins) trois lettres : – une lettre à Napoléon Lebon et Victor Delaunay (« Mes bons amis, J'ai été provoqué par deux patriotes... Il m'a été impossible de refuser (...) ») – une « lettre à tous les républicains » (« Je meurs victime d'une infâme coquette et de deux dupes de cette coquette ».) – enfin une longue lettre à son ami Auguste Chevalier. Cette dernière lettre est son testament mathématique : il récapitule les résultats qu’il a obtenus dans la théorie des équations algébriques et les fonctions elliptiques, et conclut sur ces mots : « Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes. Après cela il se trouvera, j'espère, des gens qui trouveront profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t'embrasse avec effusion. »
– 30 mai 1832. Après avoir classé ses papiers, Galois se rend au petit matin près de l’étang de la Glacière, non loin de la pension Faultrier. On l’y trouvera quelques heures plus tard, abandonné par ses témoins, et gravement blessé à l'abdomen. Il est transporté à 9 h et demie du matin à l’hôpital Cochin.
– 31 mai 1832. À 10 heures du main, Évariste Galois meurt à l’hôpital Cochin dans les bras de son frère Alfred, après avoir refusé les offices d’un prêtre. « Ne pleure pas. J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans. » Une autopsie est pratiquée.
– 14 mai 1832. Lettre de rupture de Stéphanie. 25 mai 1832. Évarsite écrit une lettre désespérée à Chevalier, forme des projets pour aller dans le Dauphiné, et se vouer à ses travaux mathématiques.
– 26, 27 ou 28 mai 1832. Galois est provoqué en duel après la rupture amoureuse et dans des circonstances fort obscures, après avoir épuisé tout moyen de conciliation. On ignore le nom de son adversaire (Duchâtelet, Pescheux d’Herbinville ?).
– 29 mai 1832. À la veille du duel, Galois écrit (au moins) trois lettres : – une lettre à Napoléon Lebon et Victor Delaunay (« Mes bons amis, J'ai été provoqué par deux patriotes... Il m'a été impossible de refuser (...) ») – une « lettre à tous les républicains » (« Je meurs victime d'une infâme coquette et de deux dupes de cette coquette ».) – enfin une longue lettre à son ami Auguste Chevalier. Cette dernière lettre est son testament mathématique : il récapitule les résultats qu’il a obtenus dans la théorie des équations algébriques et les fonctions elliptiques, et conclut sur ces mots : « Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes. Après cela il se trouvera, j'espère, des gens qui trouveront profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t'embrasse avec effusion. »
– 30 mai 1832. Après avoir classé ses papiers, Galois se rend au petit matin près de l’étang de la Glacière, non loin de la pension Faultrier. On l’y trouvera quelques heures plus tard, abandonné par ses témoins, et gravement blessé à l'abdomen. Il est transporté à 9 h et demie du matin à l’hôpital Cochin.
– 31 mai 1832. À 10 heures du main, Évariste Galois meurt à l’hôpital Cochin dans les bras de son frère Alfred, après avoir refusé les offices d’un prêtre. « Ne pleure pas. J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans. » Une autopsie est pratiquée.
...– 1833. Mort de Legendre. 1843. Liouville annonce à l'Académie des Sciences, séance du 4 juillet : «À la fin d'une discussion comportant tant d'équations algébriques, j'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donnée une équation irréductible de degré premier, décider si elle est ou non soluble par radicaux. » Liouville admet que « le Mémoire de Galois est peut-être rédigé de manière trop concise », et promet « de le compléter par un commentaire qui ne laissera aucun doute concernant la réalité de la belle découverte de notre ingénieux et infortuné compatriote. »
– Novembre-décembre 1846. Première publication, par Liouville, de l’œuvre mathématique d’Évariste Galois. Liouville réitère son intention de publier des commentaires, mais, trop occupé, ne donne pas suite à ce projet, et semble s’être contenté de faire des exposés sur les travaux de Galois, auxquels assistait Serret. La publication des travaux de Galois attira l’attention des italiens Betti et Brioschi, des français Serret et Jordan, des allemands Dedekind et Weber. En 1893, Weber nomme « théorie de Galois » la théorie des corps commutatifs. 1870. Parution du Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan.
2) Maintenant en route vers la théorie de l'ambiguïté avec Alain Connes avec la partie historique.
2-1 Le personnage d'Abel et ses relations avec Cauchy.
On voit donc qu'un personnage central est le personnage d'Abel, qui meurt le 5 avril 1829 alors que Galois a 17 ans. Abel avait déjà eu des relations assez compliquées avec Cauchy. Dans http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 on trouve: "En effet, le rythme endiablé de sa production, l'orientation polémique de certains de ses travaux, sa sévérité à l'égard de ses concurrents, lui vaut l'hostilité d'une bonne partie des mathématiciens et physico-mathématiciens de l'Académie et en particulier Poinsot, poisson, Fourier, Prony et Navet [... ] Quand aux jeunes chercheurs, s'ils ont moins à se plaindre de son agressivité, beaucoup sont rebutés par la froideur de l'accueil que leur accorde Cauchy et par l'intérêt trop exclusif qu'il semble porter à ses propres travaux. C'est ainsi qu'en 1826 Abel écrit": “Cauchy est fou et il est impossible d’avoir affaire avec lui. Pourtant c’est lui qui, à présent, est le mathématicien qui sait comment doivent être traitées les mathématiques. Ses travaux sont excellents ; mais il écrit obscurément. D’abord je ne comprenais presque rien à ses oeuvres ; maintenant j’y arrive mieux. Cauchy est infiniment catholique et bigot. Chose bien singulière pour un mathématicien ! D’ailleurs, il est le seul qui travaille les mathématiques pures. Poisson, Fourier, Ampère, etc., s’occupent exclusivement de magnétisme et d’autres parties de la physique” (Lettre d’Abel à
Holmboe, 24 Octobre 1826).Cauchy a mis du temps pour reconnaître les travaux d'Abel, mais cela a été fait.
2-2 Galois et Abel.
La relation entre Galois et Abel est très intéressante. Galois en 1829 a donné deux manuscrits à l'académie et après la mort d'Abel, il a appris que ses travaux avaient largement anticipés par ceux d'Abel, ce qui lui a donné un coup et voici ce qu'il écrit: “Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j’ignorais même le nom d’Abel quand j’ai présenté à l’Institut mes premières recherches sur la théorie des équations, et que la solution d’Abel n’aurait pu paraître avant la mienne”. Ecrite à la prison Sainte-Pélagie vers décembre 1831, cette note a pour but essentiel d’affirmer l’indépendance des travaux de Galois par rapport à ceux d’Abel. Galois qui connaissait alors la lettre d’Abel à Legendre du 25 novembre 1828 y écrit en effet : “Mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science des recherches promises dans cette lettre, il n’en était pas moins nécessaire de donner la solution d’un problème qu’il m’est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu’aura faite la science” (Voir: "Abel et Galois ont pu souvent être comparés d'une part par la « brièveté de leur vie », d'autre part par « le genre de leur talent et l'orientation de leurs recherches »". Cependant les travaux de Galois et d'Abel sont indépendants : Galois « n'avait eu qu'en partie connaissance » des travaux d'Abel sur les sujets qui l'intéressaient. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux). En fait, il n'y a pas eu concurrence ou rivalité, mais Abel disparaît exactement au moment où Galois apparaît dans le paysage mathématique.
2-3 Galois et Cauchy (21 août 1789 - 23 mai 1857).
Quand Galois naît, il avait 22 ans. C'est un mathématicien extraordinaire. Comme pour Abel, les relations avec Galois sont très intéressantes. On l'a vu dans la chronologie, Cauchy est parti de France en 1830 et il n'y a plus alors de contact avec Galois. Les meilleures informations que l'on ait entre Cauchy et Galois, qui bien souvent sont présentées de manière caricaturale, c'est à travers un article de René Taton, un grand historien des mathématiques, mort en 2004, qui nous dit la chose suivante: "Parmi les très rares renseignements qu’elles nous apportent à ce sujet, les archives de l’Académie des Sciences révèlent que Galois eut le privilège (alors qu'il n'avait que 17 ans) de voir ses premiers travaux présentés devant l’Académie, au cours des séances des 25 mai et 1er juin 1829, par un juge aussi sévère que compétent, Cauchy. Bien qu’aucune précision ne nous soit parvenue sur ce point, l’acceptation par le grand analyste de cette tâche de présentation prouve que le jeune auteur de ces mémoires avait réussi à le convaincre du sérieux, de l’importance et de l’originalité de ses recherches." Un peu après en fait, dans le début de l'été 1829, le mémoire d'Abel sur les équations algébriques est paru de manière posthume et bien sûr, Cauchy a constaté qu'une bonne partie des résultats obtenus par Galois étaient "absorbés" par le mémoire d'Abel donc il était de son devoir d'atténuer la déception de Galois en l'encourageant de sauver la part la plus originale de ses recherches travail. Lorsqu'il se décida en 1830 à rédiger son rapport sur le Mémoire de Galois, Lorsqu’il se décida, au début de 1830, on peut penser que, dans cette circonstance, Cauchy songea beaucoup moins à remplir une obligation académique qu’à apporter d’utiles conseils au jeune mathématicien. Toujours est-il que ce rapport fut rédigé pour être lu à la séance du 18 janvier 1830, et que seule une indisposition empêcha Cauchy de le présenter. Cauchy adressa lors une lettre d'excuses au Président de l'Académie, lettre que l'on retrouve dans les archives de l'Académie: "Monsieur le Président, Je me proposai de présenter aujourd’hui à l’Académie : 1˚ le rapport sur les travaux du jeune Galois ; 2˚ un mémoire sur la détermination analytique des racines primitives, dans lequel je fais voir comment on peut réduire cette détermination à la résolution d’'équations numériques dont toutes les racines sont entières et positives. Retenu chez moi par une indisposition, je regrette de ne pouvoir assister à la séance de ce jour, et je vous prie de vouloir bien inscrire mon nom sur l’ordre du jour de la séance suivante pour les deux objets que je viens d’indiquer. Agréez, je vous prie, l’hommage de la très parfaite considération avec laquelle j’ai l’honneur d’être, Monsieur le Président votre très humble et très obéissant serviteur. A.-L. Cauchy, Membre de l’Académie." Cette lettre montre que Cauchy n'ignorait absolument Galois et que même il y y avait des relations très fortes entre les deux hommes. Et René Taton dit à propos de cette lettre: "Du fait du report annoncé de ce rapport à la séance suivante, celle du 25 janvier 1830, nous (René Taton) avons examiné avec un soin tout particulier les différentes pièces concernant cette séance : dossier, plumitif, registre de procès verbaux. Mais alors que ces divers documents montrent que Cauchy, effectivement présent, y présenta bien son mémoire annoncé ”Sur la détermination des racines primitives dans la théorie des nombres, rien n’y rappelle le premier point évoqué dans sa lettre du 18 janvier, ”Le rapport sur les travaux du jeune Galois”. L’étude des procès-verbaux des séances de l’Académie révèle que non seulement ce rapport, annoncé par écrit au président de l’Académie pour la séance du 25 janvier, n’y a pas été présenté, mais qu’aucune allusion n’y a plus été faite au cours des séances suivantes. Le fait que Galois ne se soit jamais plaint de la négligence de Cauchy en cette circonstance, alors qu’il plaçait tous ses espoirs en un jugement favorable de l’Académie, semble montrer que l’annulation de ce rapport est intervenue avec son accord. Il reste alors à expliquer ce brusque changement d’attitude des deux acteurs de cette mystérieuse affaire. La confrontation attentive des quelques éléments d’information disponibles permet de formuler à ce sujet une hypothèse qui paraît très vraisemblable. Tout d’abord, il est parfaitement établi qu’en février 1830, Galois a déposé au secrétariat de l’Académie un important mémoire.... L'hypothèse de Taton, c'est que Cauchy avait demandé à Galois de réécrire son manuscrit de manière plus détaillée, de telle sorte qu'il soit présenté au Grand Prix de l'Académie (En fait, ça s'appelait un concours à l'époque). Taton écrit: "Nous pensons donc que, entre le 18 et le 25 janvier 1830, Cauchy persuada Galois de rédiger pour le concours du Grand Prix de Mathématiques un mémoire de synthèse réunissant l’ensemble de ses contributions originales à la théorie des équations algébriques et de renoncer, en même temps, à ce que ses mémoires de 1829 soient l’objet d’un rapport officiel."
2-4) Le concours:
2) Maintenant en route vers la théorie de l'ambiguïté avec Alain Connes avec la partie historique.
ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES résume: A 16 ans, trop brillant sans doute, et peut-être un peu brouillon..., il fut incompris par Poisson qui rejeta les travaux qu'il voulait présenter à l'Académie des sciences de Paris (1831). Auparavant son mémoire fut perdu par Cauchy en 1827, et ignoré par Fourier (qui mourut en 1830). Il rédigea, peu de temps avant sa mort, son testament mathématique qu'il confia, avec divers autres manuscrits, à un ami en le priant de le transmettre à Jacobi ou Gauss.
Ce n'est qu'en 1843 que les travaux de Galois sont connus, transmis et complétés par Liouville (1846) à l'Académie des Sciences, mais c'est Jordan, en 1870, qui le fera vraiment connaître à travers son traité d'algèbre.
La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet
On voit donc qu'un personnage central est le personnage d'Abel, qui meurt le 5 avril 1829 alors que Galois a 17 ans. Abel avait déjà eu des relations assez compliquées avec Cauchy. Dans http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 on trouve: "En effet, le rythme endiablé de sa production, l'orientation polémique de certains de ses travaux, sa sévérité à l'égard de ses concurrents, lui vaut l'hostilité d'une bonne partie des mathématiciens et physico-mathématiciens de l'Académie et en particulier Poinsot, poisson, Fourier, Prony et Navet [... ] Quand aux jeunes chercheurs, s'ils ont moins à se plaindre de son agressivité, beaucoup sont rebutés par la froideur de l'accueil que leur accorde Cauchy et par l'intérêt trop exclusif qu'il semble porter à ses propres travaux. C'est ainsi qu'en 1826 Abel écrit": “Cauchy est fou et il est impossible d’avoir affaire avec lui. Pourtant c’est lui qui, à présent, est le mathématicien qui sait comment doivent être traitées les mathématiques. Ses travaux sont excellents ; mais il écrit obscurément. D’abord je ne comprenais presque rien à ses oeuvres ; maintenant j’y arrive mieux. Cauchy est infiniment catholique et bigot. Chose bien singulière pour un mathématicien ! D’ailleurs, il est le seul qui travaille les mathématiques pures. Poisson, Fourier, Ampère, etc., s’occupent exclusivement de magnétisme et d’autres parties de la physique” (Lettre d’Abel à
Holmboe, 24 Octobre 1826).Cauchy a mis du temps pour reconnaître les travaux d'Abel, mais cela a été fait.
2-2 Galois et Abel.
La relation entre Galois et Abel est très intéressante. Galois en 1829 a donné deux manuscrits à l'académie et après la mort d'Abel, il a appris que ses travaux avaient largement anticipés par ceux d'Abel, ce qui lui a donné un coup et voici ce qu'il écrit: “Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j’ignorais même le nom d’Abel quand j’ai présenté à l’Institut mes premières recherches sur la théorie des équations, et que la solution d’Abel n’aurait pu paraître avant la mienne”. Ecrite à la prison Sainte-Pélagie vers décembre 1831, cette note a pour but essentiel d’affirmer l’indépendance des travaux de Galois par rapport à ceux d’Abel. Galois qui connaissait alors la lettre d’Abel à Legendre du 25 novembre 1828 y écrit en effet : “Mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science des recherches promises dans cette lettre, il n’en était pas moins nécessaire de donner la solution d’un problème qu’il m’est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu’aura faite la science” (Voir: "Abel et Galois ont pu souvent être comparés d'une part par la « brièveté de leur vie », d'autre part par « le genre de leur talent et l'orientation de leurs recherches »". Cependant les travaux de Galois et d'Abel sont indépendants : Galois « n'avait eu qu'en partie connaissance » des travaux d'Abel sur les sujets qui l'intéressaient. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux). En fait, il n'y a pas eu concurrence ou rivalité, mais Abel disparaît exactement au moment où Galois apparaît dans le paysage mathématique.
2-3 Galois et Cauchy (21 août 1789 - 23 mai 1857).
Quand Galois naît, il avait 22 ans. C'est un mathématicien extraordinaire. Comme pour Abel, les relations avec Galois sont très intéressantes. On l'a vu dans la chronologie, Cauchy est parti de France en 1830 et il n'y a plus alors de contact avec Galois. Les meilleures informations que l'on ait entre Cauchy et Galois, qui bien souvent sont présentées de manière caricaturale, c'est à travers un article de René Taton, un grand historien des mathématiques, mort en 2004, qui nous dit la chose suivante: "Parmi les très rares renseignements qu’elles nous apportent à ce sujet, les archives de l’Académie des Sciences révèlent que Galois eut le privilège (alors qu'il n'avait que 17 ans) de voir ses premiers travaux présentés devant l’Académie, au cours des séances des 25 mai et 1er juin 1829, par un juge aussi sévère que compétent, Cauchy. Bien qu’aucune précision ne nous soit parvenue sur ce point, l’acceptation par le grand analyste de cette tâche de présentation prouve que le jeune auteur de ces mémoires avait réussi à le convaincre du sérieux, de l’importance et de l’originalité de ses recherches." Un peu après en fait, dans le début de l'été 1829, le mémoire d'Abel sur les équations algébriques est paru de manière posthume et bien sûr, Cauchy a constaté qu'une bonne partie des résultats obtenus par Galois étaient "absorbés" par le mémoire d'Abel donc il était de son devoir d'atténuer la déception de Galois en l'encourageant de sauver la part la plus originale de ses recherches travail. Lorsqu'il se décida en 1830 à rédiger son rapport sur le Mémoire de Galois, Lorsqu’il se décida, au début de 1830, on peut penser que, dans cette circonstance, Cauchy songea beaucoup moins à remplir une obligation académique qu’à apporter d’utiles conseils au jeune mathématicien. Toujours est-il que ce rapport fut rédigé pour être lu à la séance du 18 janvier 1830, et que seule une indisposition empêcha Cauchy de le présenter. Cauchy adressa lors une lettre d'excuses au Président de l'Académie, lettre que l'on retrouve dans les archives de l'Académie: "Monsieur le Président, Je me proposai de présenter aujourd’hui à l’Académie : 1˚ le rapport sur les travaux du jeune Galois ; 2˚ un mémoire sur la détermination analytique des racines primitives, dans lequel je fais voir comment on peut réduire cette détermination à la résolution d’'équations numériques dont toutes les racines sont entières et positives. Retenu chez moi par une indisposition, je regrette de ne pouvoir assister à la séance de ce jour, et je vous prie de vouloir bien inscrire mon nom sur l’ordre du jour de la séance suivante pour les deux objets que je viens d’indiquer. Agréez, je vous prie, l’hommage de la très parfaite considération avec laquelle j’ai l’honneur d’être, Monsieur le Président votre très humble et très obéissant serviteur. A.-L. Cauchy, Membre de l’Académie." Cette lettre montre que Cauchy n'ignorait absolument Galois et que même il y y avait des relations très fortes entre les deux hommes. Et René Taton dit à propos de cette lettre: "Du fait du report annoncé de ce rapport à la séance suivante, celle du 25 janvier 1830, nous (René Taton) avons examiné avec un soin tout particulier les différentes pièces concernant cette séance : dossier, plumitif, registre de procès verbaux. Mais alors que ces divers documents montrent que Cauchy, effectivement présent, y présenta bien son mémoire annoncé ”Sur la détermination des racines primitives dans la théorie des nombres, rien n’y rappelle le premier point évoqué dans sa lettre du 18 janvier, ”Le rapport sur les travaux du jeune Galois”. L’étude des procès-verbaux des séances de l’Académie révèle que non seulement ce rapport, annoncé par écrit au président de l’Académie pour la séance du 25 janvier, n’y a pas été présenté, mais qu’aucune allusion n’y a plus été faite au cours des séances suivantes. Le fait que Galois ne se soit jamais plaint de la négligence de Cauchy en cette circonstance, alors qu’il plaçait tous ses espoirs en un jugement favorable de l’Académie, semble montrer que l’annulation de ce rapport est intervenue avec son accord. Il reste alors à expliquer ce brusque changement d’attitude des deux acteurs de cette mystérieuse affaire. La confrontation attentive des quelques éléments d’information disponibles permet de formuler à ce sujet une hypothèse qui paraît très vraisemblable. Tout d’abord, il est parfaitement établi qu’en février 1830, Galois a déposé au secrétariat de l’Académie un important mémoire.... L'hypothèse de Taton, c'est que Cauchy avait demandé à Galois de réécrire son manuscrit de manière plus détaillée, de telle sorte qu'il soit présenté au Grand Prix de l'Académie (En fait, ça s'appelait un concours à l'époque). Taton écrit: "Nous pensons donc que, entre le 18 et le 25 janvier 1830, Cauchy persuada Galois de rédiger pour le concours du Grand Prix de Mathématiques un mémoire de synthèse réunissant l’ensemble de ses contributions originales à la théorie des équations algébriques et de renoncer, en même temps, à ce que ses mémoires de 1829 soient l’objet d’un rapport officiel."
2-4) Le concours:
“Le prix sera décerné à celui des ouvrages
ou manuscrits ou imprimés, qui présentera l’application
la plus importante des théories
mathématiques, soit à la physique générale,
soit à l’astronomie, ou qui contiendrait une
découverte analytique très remarquable”.
Le grand prix se distinguait également par le
fait que des travaux publiés entre le 1er janvier
1828 et le 1er janvier 1830, “ou séparément,
ou dans des recueils scientifiques” pouvaient être pris en considération par le jury, sans que
leur auteur ait fait acte de candidature, concurremment
avec les ouvrages ou mémoires déposés
au secrétariat de l’Institut avant le 1er mars
1830. Cette modalité permit ainsi au jury de
rendre à Abel et à Jacobi un hommage pleinement
mérité et de répondre ainsi à certaines
critiques sur le retard apporté par l’Académie à reconnaître la valeur de leurs travaux, ceux d'Abel en particulier. Les espoirs que Galois plaçait dans le concours du Prix de l'Académie devaient donc se trouver cruellement déçus. Galois ne put raisonnablement ressentir comme une injustice, le fait que, le 28 juin, ce prix ait été attribué à Abel (à titre posthume) et à Jacobi.
Par contre, là où il a commencé à être un peut paranoïaque, si l'on peut dire, et comme le souligne Alain Connes, c'est lorsqu'il a appris que son manuscrit avait été perdu. La raison en est complexe: Cauchy, en fait ne faisait pas partie des examinateurs, le secrétaire perpétuel était Joseph Fourier, qui est mort en mai de cette année-là, avant même que le grand Prix eût été attribué. C'était en fait Fourier qui était chargé de présenter les travaux de Galois et non pas Cauchy. Comme explication, "c’est une chose bien
simple, aurait répondu Cuvier à une réclamation
de Galois, le mémoire a été perdu à la mort de
M. Fourier, qui était chargé de l’examiner” On
conçoit que ce nouveau malheur ait exaspéré le jeune mathématicien, déjà convaincu non
seulement d’être poursuivi par la malchance,
mais aussi d’être persécuté par les représentants
de la science officielle et par la société en général.
Cauchy connut-il ce regrettable incident ? La
chose n’est pas certaine, car il fut pratiquement
absent de l’Académie à partir du 19 juillet
1830 quant il quitta la France pour l'exil au début de septembre
pour n’y plus revenir qu’en 1838. Voilà ce que dit Galois dans ses écrits: “II suffira de dire que mon mémoire sur la
théorie des équations a été déposé en substance à l’Académie des Sciences en février 1830, (l'année du concours, l'année où Cauchy lui avait demandé de déposer son mémoire), que des extraits en avaient été envoyés
en 1829 (les deux articles qu'il avait déposés au printemps 1829 quand il avait 17 ans), qu’aucun rapport ne s’en est suivi et
qu’il m’a été impossible de revoir les manuscrits.”
Voilà ce que dit Auguste Chevalier, l'ami très proche de Galois: "Le peu d’attention donné par l’Institut au premier
travail soumis à son jugement par Galois
commença pour lui des douleurs qui, jusqu’à sa mort, devaient se succéder de plus en plus
vives. Une telle indifférence aurait suffi pour
guérir de toute ardeur scientifique, mais il n’en
fut point abattu ; une puissante nature le poussait
en avant."
2-5 Renvoi de Galois de l'Ecole normale.
Le deuxième épisode, c'est à ce moment-là, en 1830. Il y a les trois glorieuses et Galois est enfermé à l'Ecole Normale, car les élèves de l'Ecole normale ont été consignés par le directeur, Joseph-Daniel Guigniaut, et n’ont pu participer aux combats, alors qu'on laisse sortir les élèves de Polytechnique qui prennent une part active aux événements. Mais les élève font le mur pour aller sur les barricades. Galois éprouve à ce moment une aversion pour le Directeur, et il finit par se faire renvoyer de l'Ecole Normale 4 janvier 1831 comme nous l'avons vu dans les chroniques, par arrêt du Conseil royal de l’Instruction publique, où siègent Cuvier, Poisson, Thénard, Cousin et Villemain, prononçant que « l’élève Galois quittera immédiatement l'École Normale. Il sera statué ultérieurement sur sa destination. » la personne qui signe le renvoi de Galois de l'Ecole normale est Victor Cousin et la rue Victor Cousin est la rue dans laquelle Galois a donné ses cours après avoir été renvoyé de l'Ecole normale, il a donné son cours devant 35 élèves. Mais il n'y a pas dans Paris de rue Galois et Alain Connes pense que ce serait une bonne idée qu'on ne change pas le nom de la rue, mais qu'il y ait une plaque dans la rue Victor Cousin ou dans la rue de la Sorbonne en expliquant clairement que galois a donné ses cours à cet endroit-là après s'être fait renvoyer de l'Ecole normale.
Le rapport avec Poisson est très intéressant, parce que Poisson, qui faisait partie du comité qui a renvoyé Galois lui a surement parlé en privé et lui a dit qu'il fallait qu'il redonne son manuscrit pour qu'il soit réexaminé par l'Académie. Il faut rappeler que Cauchy était à Turin et Galois n'avait plus de protecteur direct et il n'y avait pas de personne à laquelle il pouvait s'adresser à l'Académie. Selon Alain Connes, il a parlé à Poisson et lui a donné son manuscrit. Poisson et Lacroix ont fait un rapport extrêmement précis et argumenté à la séance du 11 juillet 1831 sur le mémoire de Galois.relatif aux conditions de résolubilté par radicaux.:
"Le but que l'auteur s'est proposé dans ce Mémoire est de démontrer un théorème qu'il énonce ainsi: "Pour démontrer qu'une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux de ses racines étant connues, les autres se déduisent rationnellement."
L'auteur entend par équation irréductible, une équation dont les coefficients sont rationnels et qui ne peut se décomposer en d'autres équations qui aient aussi leurs coefficients rationnels. D'après sa proposition, l'équation générale du troisième degré, par exemple, serait résoluble, parce que la somme des trois racines étant égale au coefficient du second terme pris avec un signe contraire, chacune s'exprime rationnellement au moyen des deux autres. Des notre trouvées dans les papiers d'Abel et qui ont été imprimées après sa mort dans le journal de M. Crelle, tome V page 345, renferment une proposition analogue de celle de M. Galois dont voici l'énoncé:
"si trois racines d'une équation quelconque irréductible, dont le degré est un nombre premier , sont liées entre de sorte que l'une des racines puisse être exprimée rationnellement au moyen des deux autres, l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble au moyen de radicaux."
Cet énoncé diffère de celui de M. Galois, en ce que le géomètre norvégien ne dit pas que la condition dont il s'agit soit nécessaire; mais qu'elle suffit pour que l'équation soit résoluble; et il ne semble qu'il la regardât comme indispensable; car on trouve dans les notes citées une autre proposition relative à la résolution d'une classe nombreuse d'équation qui pourraient bien ne pas remplir cette condition. Il ne paraît pas non plus que ce soit à cette proposition qu'il ait fait allusion dans ce passage à une lettre écrite à M. Legendre, et publiée après la mort d'Abel dans le Journal de M. Crelle, tome VI , page 80:
"J'ai été assez heureux" dit-il de trouver une règle sûre à l'aide de laquelle on pourra reconnaître si une équation quelconque proposée es résoluble ou non à l'aide de radicaux. Un corollaire de ma théorie fait voir que que généralement il est impossible de résoudre les équations supérieures au quatrième degré."
Nous ignorons si Abel a laissé un manuscrit de cette théorie; elle n'a point encore été imprimée non plus que la démonstration du théorème analogue à celui qui fait l'objet de ce rapport.et qui appartiendrait entièrement à M. Galois, s'il parvenait à l'établir d'une manière satisfaisante. Toutefois, on doit remarquer qu'il ne renferme pas, comme le titre du Mémoire le promettait, la condition de résolubilité par radicaux; car en admettant comme vraie la proposition de M. Galois, on n'en serait guère plus avancé pour savoir si une équation donnée dont le degré est un nombre premier est résolue ou non par des radicaux, puisqu'il faudrait d'abord s'assurer si cette équation est irréductible, et ensuite si l'une des racines peut s'exprimer en fonction rationnelle des deux autres.. La condition de résolubilité, si elle existe, devrait être un caractère extérieur que l'on pût vérifier à l'inspection des coefficients d'une équation donnée, ou tout au plus, en résolvant d'autre équations d'un degré moins élevé que la proposée. Quoi qu'’il en soit, nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la démonstration de M. Galois. Ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude, et nous ne serions pas en état d'en donner une idée dans son Rapport. L'auteur annonce que la proposition qui fait l'objet spécial de son Mémoire est une partie d'une théorie générale susceptible de beaucoup d'autres applications.Souvent il arrive qu'une partie d'une théorie, en s'éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu'isolément. On peut donc attendre que l'auteur ait publié en entier son travail pour se former une opinion définitive; mais dans l'état où est la partie qu'il a soumise à l'Académie, nous ne pouvons porposer d'y donner notre approbation."
Lorsqu'il a reçu ce rapport le 4 juillet 1831, Galois a écrit en-dessous "Oh chérubins"! c'est à dire "vous n'avez pas bien compris" (il faut admettre que la manière dont Galois écrit est extrêmement elliptique), mais on verra aussi à quel point il va au point le plus profond. Ce qui est vrai, c'est que , si on lit ce que Galois écrit pour démontrer ses théorèmes, c'est très difficile à comprendre. Par contre, il avait la démonstration de manière complète, c'est clair. Ce qui est amusant aussi, c'est que pour démontrer ce théorème, il faut utiliser un résultat de Cauchy, que Galois connait et utilise: si on prend un groupe fini dont l'ordre est divisible par un nombre premier, il contient sur un ensemble à p éléments une permutation cyclique d'ordre p.
En fait, la situation était très mauvaise et Galois, quelques jours après avoir reçu le rapport de Poisson, Galois devait être très découragé et dans un état assez instable. C'est à ce moment-là qu'il a été arrêté en tête de la manifestation et qu'il s'est retrouvé en prison pour pratiquement tout le reste de sa vie.
Le deuxième épisode, c'est à ce moment-là, en 1830. Il y a les trois glorieuses et Galois est enfermé à l'Ecole Normale, car les élèves de l'Ecole normale ont été consignés par le directeur, Joseph-Daniel Guigniaut, et n’ont pu participer aux combats, alors qu'on laisse sortir les élèves de Polytechnique qui prennent une part active aux événements. Mais les élève font le mur pour aller sur les barricades. Galois éprouve à ce moment une aversion pour le Directeur, et il finit par se faire renvoyer de l'Ecole Normale 4 janvier 1831 comme nous l'avons vu dans les chroniques, par arrêt du Conseil royal de l’Instruction publique, où siègent Cuvier, Poisson, Thénard, Cousin et Villemain, prononçant que « l’élève Galois quittera immédiatement l'École Normale. Il sera statué ultérieurement sur sa destination. » la personne qui signe le renvoi de Galois de l'Ecole normale est Victor Cousin et la rue Victor Cousin est la rue dans laquelle Galois a donné ses cours après avoir été renvoyé de l'Ecole normale, il a donné son cours devant 35 élèves. Mais il n'y a pas dans Paris de rue Galois et Alain Connes pense que ce serait une bonne idée qu'on ne change pas le nom de la rue, mais qu'il y ait une plaque dans la rue Victor Cousin ou dans la rue de la Sorbonne en expliquant clairement que galois a donné ses cours à cet endroit-là après s'être fait renvoyer de l'Ecole normale.
Le rapport avec Poisson est très intéressant, parce que Poisson, qui faisait partie du comité qui a renvoyé Galois lui a surement parlé en privé et lui a dit qu'il fallait qu'il redonne son manuscrit pour qu'il soit réexaminé par l'Académie. Il faut rappeler que Cauchy était à Turin et Galois n'avait plus de protecteur direct et il n'y avait pas de personne à laquelle il pouvait s'adresser à l'Académie. Selon Alain Connes, il a parlé à Poisson et lui a donné son manuscrit. Poisson et Lacroix ont fait un rapport extrêmement précis et argumenté à la séance du 11 juillet 1831 sur le mémoire de Galois.relatif aux conditions de résolubilté par radicaux.:
"Le but que l'auteur s'est proposé dans ce Mémoire est de démontrer un théorème qu'il énonce ainsi: "Pour démontrer qu'une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux de ses racines étant connues, les autres se déduisent rationnellement."
L'auteur entend par équation irréductible, une équation dont les coefficients sont rationnels et qui ne peut se décomposer en d'autres équations qui aient aussi leurs coefficients rationnels. D'après sa proposition, l'équation générale du troisième degré, par exemple, serait résoluble, parce que la somme des trois racines étant égale au coefficient du second terme pris avec un signe contraire, chacune s'exprime rationnellement au moyen des deux autres. Des notre trouvées dans les papiers d'Abel et qui ont été imprimées après sa mort dans le journal de M. Crelle, tome V page 345, renferment une proposition analogue de celle de M. Galois dont voici l'énoncé:
"si trois racines d'une équation quelconque irréductible, dont le degré est un nombre premier , sont liées entre de sorte que l'une des racines puisse être exprimée rationnellement au moyen des deux autres, l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble au moyen de radicaux."
Cet énoncé diffère de celui de M. Galois, en ce que le géomètre norvégien ne dit pas que la condition dont il s'agit soit nécessaire; mais qu'elle suffit pour que l'équation soit résoluble; et il ne semble qu'il la regardât comme indispensable; car on trouve dans les notes citées une autre proposition relative à la résolution d'une classe nombreuse d'équation qui pourraient bien ne pas remplir cette condition. Il ne paraît pas non plus que ce soit à cette proposition qu'il ait fait allusion dans ce passage à une lettre écrite à M. Legendre, et publiée après la mort d'Abel dans le Journal de M. Crelle, tome VI , page 80:
"J'ai été assez heureux" dit-il de trouver une règle sûre à l'aide de laquelle on pourra reconnaître si une équation quelconque proposée es résoluble ou non à l'aide de radicaux. Un corollaire de ma théorie fait voir que que généralement il est impossible de résoudre les équations supérieures au quatrième degré."
Nous ignorons si Abel a laissé un manuscrit de cette théorie; elle n'a point encore été imprimée non plus que la démonstration du théorème analogue à celui qui fait l'objet de ce rapport.et qui appartiendrait entièrement à M. Galois, s'il parvenait à l'établir d'une manière satisfaisante. Toutefois, on doit remarquer qu'il ne renferme pas, comme le titre du Mémoire le promettait, la condition de résolubilité par radicaux; car en admettant comme vraie la proposition de M. Galois, on n'en serait guère plus avancé pour savoir si une équation donnée dont le degré est un nombre premier est résolue ou non par des radicaux, puisqu'il faudrait d'abord s'assurer si cette équation est irréductible, et ensuite si l'une des racines peut s'exprimer en fonction rationnelle des deux autres.. La condition de résolubilité, si elle existe, devrait être un caractère extérieur que l'on pût vérifier à l'inspection des coefficients d'une équation donnée, ou tout au plus, en résolvant d'autre équations d'un degré moins élevé que la proposée. Quoi qu'’il en soit, nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la démonstration de M. Galois. Ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude, et nous ne serions pas en état d'en donner une idée dans son Rapport. L'auteur annonce que la proposition qui fait l'objet spécial de son Mémoire est une partie d'une théorie générale susceptible de beaucoup d'autres applications.Souvent il arrive qu'une partie d'une théorie, en s'éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu'isolément. On peut donc attendre que l'auteur ait publié en entier son travail pour se former une opinion définitive; mais dans l'état où est la partie qu'il a soumise à l'Académie, nous ne pouvons porposer d'y donner notre approbation."
Lorsqu'il a reçu ce rapport le 4 juillet 1831, Galois a écrit en-dessous "Oh chérubins"! c'est à dire "vous n'avez pas bien compris" (il faut admettre que la manière dont Galois écrit est extrêmement elliptique), mais on verra aussi à quel point il va au point le plus profond. Ce qui est vrai, c'est que , si on lit ce que Galois écrit pour démontrer ses théorèmes, c'est très difficile à comprendre. Par contre, il avait la démonstration de manière complète, c'est clair. Ce qui est amusant aussi, c'est que pour démontrer ce théorème, il faut utiliser un résultat de Cauchy, que Galois connait et utilise: si on prend un groupe fini dont l'ordre est divisible par un nombre premier, il contient sur un ensemble à p éléments une permutation cyclique d'ordre p.
En fait, la situation était très mauvaise et Galois, quelques jours après avoir reçu le rapport de Poisson, Galois devait être très découragé et dans un état assez instable. C'est à ce moment-là qu'il a été arrêté en tête de la manifestation et qu'il s'est retrouvé en prison pour pratiquement tout le reste de sa vie.
6) Le miracle: c'est Joseph Liouville
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2009/09/joseph-liouville.html-
Les choses auraient pu en rester là, mais il y a un miracle, c'est Joseph Liouville, qui est aussi un membre de l'Académie et de la même génération que Galois. Il serait en effet trop facile de dire que ce qu'a trouvé Galois aurait été trouvé de toute manière, car, Il y eut plus de 10 ans entre la disparition de Galois et le moment où Liouville a étudié, de manière extrêmement soigneuse et précautionneuse les papiers qui lui avaient remis par le frère de Galois et qui avaient été confiés à Auguste Chevalier, qui était la liasse de papiers que Galois a laissés la veille de sa mort.
Voilà ce que dit Liouville (Il écrit en note: C'est surtout à la connaissance de l'expression transcendante des racines des équations à résoudre, (expression que Galois obtient d'abord par la considération des deux périodes de fonctions elliptiques), qu'Abel doit d'avoir réussi dans la recherche de leur expression purement algébrique) dans la séance du 4 septembre 1843, donc plus de dix ans après:
"A la suite d'une discussion où l'on a tant parlé d'équations algébriques, j'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Evariste Galois, j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème: Etant donnée une équation irréductible de degré premier, décider si elle est non résoluble à l'aide de radicaux. Le mémoire de Galois est rédigé peut-être de manière un peu trop concise. Je me propose de le compléter par un commentaire qui ne laissera, je crois, aucun doute sur la réalité de la belle découverte de notre ingénieux et infortuné compatriote." Mais, en fait, il a fallu attendre deux ans après cette séance de l'Académie du 4 septembre 1843, pour que les papiers de Galois soient publiés par Liouville dans ce qui s'appelle "le journal de Liouville" et ces papiers ont eu une influence considérable.
Nous terminons ici la partie historique de l'article à propos de Galois et de la théorie de l'ambiguïté. Dans la prochain article, j'essayerai de parler de la partie mathématique de la conférence d'Alain Connes pour voir en Galois le précurseur qui a eu l'intuition mathématique qui a permis avec la théorie des groupes et la féconde notion de symétrie de percer le secret de du monde subatomique, même si l'incompatibilité (actuelle) entre la physique quantique qui décrit l'infiniment petit et la Relativité, qui décrit l'infiniment grand n'est pas encore résolue.
A propos de Galois:
http://johan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/ (biographies/biographies_de_88_mathematiciens_celebres.pdfBiographies de mathématiciens célèbres Compilation de textes tirés de www.bibmath.net fr.wikipedia.org www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et sites Internet divers)
http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf (alain connes evariste galois et la théorie de l ambiguïté)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)
http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch3galois.pdf (Symétries I. Idées galoisiennes)
http://www.academie-sciences.fr/archivage_site/academie/membre/s130606_ramis.pdf (Séance solennelle de l’Académie des sciences / 13 juin 2006 Réception des Membres élus en 2005 La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques Jean-Pierre Ramis) https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois (Evariste Galois)
https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)
http://les.mathematiques.free.fr/pdf/gal9.pdf (Résolubilité par radicaux)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf Idées galoisiennes)
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76 (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikisource.org/wiki/Papiers_et_%C3%A9crits_math%C3%A9matiques (Evariste Galois: papiers et écrits mathématiques)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554 (Sur la mort de Evariste Galois
http://xavier.hubaut.info/coursmath/bio/galois.htm (dans Mathématiques du secondaire: En 1829 il publia son premier article sur les fractions continues suivi d'une démonstration prouvant l'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, une branche des mathématiques traitant de la résolution des équations algébriques. Célèbre pour sa contribution à la théorie des groupes, il découvrit une méthode déterminant quand une équation pouvait être résolue par radicaux. Cette théorie apportait ainsi une réponse à des problèmes fort anciens tels que la trisection de l'angle et la duplication du cube. Il introduisit le mot "groupe" en considérant le groupe de permutations des racines d'une équation. C'est la théorie de groupes qui rendit possible la synthèse de la géométrie et de l'algèbre. En 1830 il résolut f(x)=0f(x)=0 (mod pp), avec f(x)f(x) polynôme irréductible, en introduisant le symbole jj pour une des solutions de l'équation; cela conduisit aux corps de Galois GF(p)GF(p). L'oeuvre de Galois apporta une contribution importante à la transition entre l'algèbre classique et moderne)
Voilà ce que dit Liouville (Il écrit en note: C'est surtout à la connaissance de l'expression transcendante des racines des équations à résoudre, (expression que Galois obtient d'abord par la considération des deux périodes de fonctions elliptiques), qu'Abel doit d'avoir réussi dans la recherche de leur expression purement algébrique) dans la séance du 4 septembre 1843, donc plus de dix ans après:
"A la suite d'une discussion où l'on a tant parlé d'équations algébriques, j'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Evariste Galois, j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème: Etant donnée une équation irréductible de degré premier, décider si elle est non résoluble à l'aide de radicaux. Le mémoire de Galois est rédigé peut-être de manière un peu trop concise. Je me propose de le compléter par un commentaire qui ne laissera, je crois, aucun doute sur la réalité de la belle découverte de notre ingénieux et infortuné compatriote." Mais, en fait, il a fallu attendre deux ans après cette séance de l'Académie du 4 septembre 1843, pour que les papiers de Galois soient publiés par Liouville dans ce qui s'appelle "le journal de Liouville" et ces papiers ont eu une influence considérable.
Nous terminons ici la partie historique de l'article à propos de Galois et de la théorie de l'ambiguïté. Dans la prochain article, j'essayerai de parler de la partie mathématique de la conférence d'Alain Connes pour voir en Galois le précurseur qui a eu l'intuition mathématique qui a permis avec la théorie des groupes et la féconde notion de symétrie de percer le secret de du monde subatomique, même si l'incompatibilité (actuelle) entre la physique quantique qui décrit l'infiniment petit et la Relativité, qui décrit l'infiniment grand n'est pas encore résolue.
A propos de Galois:
http://johan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/ (biographies/biographies_de_88_mathematiciens_celebres.pdfBiographies de mathématiciens célèbres Compilation de textes tirés de www.bibmath.net fr.wikipedia.org www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et sites Internet divers)
http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf (alain connes evariste galois et la théorie de l ambiguïté)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)
http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch3galois.pdf (Symétries I. Idées galoisiennes)
http://www.academie-sciences.fr/archivage_site/academie/membre/s130606_ramis.pdf (Séance solennelle de l’Académie des sciences / 13 juin 2006 Réception des Membres élus en 2005 La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques Jean-Pierre Ramis) https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois (Evariste Galois)
https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)
http://les.mathematiques.free.fr/pdf/gal9.pdf (Résolubilité par radicaux)
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf Idées galoisiennes)
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76 (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikisource.org/wiki/Papiers_et_%C3%A9crits_math%C3%A9matiques (Evariste Galois: papiers et écrits mathématiques)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois)
http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554 (Sur la mort de Evariste Galois
http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois)
http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/vie-galois/biographie/ (Bicentenaire: biographie de galois)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Galois.html (La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet. Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s'écrire comme fonction rationnelle de deux autres. Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d'un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G. Galois prouve alors élégamment l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d'Abel)
http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/vie-galois/biographie/ (Bicentenaire: biographie de galois)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Galois.html (La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet. Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s'écrire comme fonction rationnelle de deux autres. Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d'un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G. Galois prouve alors élégamment l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d'Abel)
http://www2.ac-lyon.fr/etab/lycees/lyc-42/fauriel/IMG/pdf/bio-galoispd0397.pdf (« J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans » Évariste Galois (1811-1832)
http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2011/sciences-et-techniques/evariste-galois
http://images.math.cnrs.fr/Evariste-Galois-enfance-d-un-genie.html#menu evariste galois: enfance d'un génie malheureux
http://www.futura-sciences.com/magazines/mathematiques/infos/actu/d/mathematiques-evariste-galois-genie-mathematiques-mort-20-ans-34217/ Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76 (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois (Théorie de Galois)
http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (Equations résolubles par radicaux ou théorie de Galois)
https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/enseignement/arith-p13/cours.pdf (De l'arithmétique à la théorie des nombres par Boyer Pascal)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_%C3%A0_l%27origine (la théorie de Galois à l'origine est fondé sur l'étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd'hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l'intention de décrire les permutations des racines)
https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/gal/g.pdf (INTRODUCTION A LA TH EORIE DE GALOIS ET LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE, THEORIE DE GALOIS)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois ( la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique) (La symétrie en physique)
http://poesieetautres.unblog.fr/2015/03/02/peut-on-savoir-quelles-sont-les-limites-de-la-connaissance-scientifique/ (Peut on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?)
http://www.abelprize.no/nedlastning/verker/abel_festskrift_fransk/abel_memorial_12_kap9_les_etudes_opt.pdf
Mathématiciens et scientifiques:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (siméon denis poisson)
http://www.alainconnes.org/fr/ (Alain Connes, le site)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Ramis (Jean-Pierre Ramis, Ses travaux concernent les systèmes dynamiques des fonctions du champ complexe, discrets (équations aux différences et q-différences) et continus (équations différentielles), notamment les notions d'intégrabilité (théorie de Morales-Ramis) et la théorie de Galois différentielle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel (Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 à Froland près d'Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.)
wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant) (galilée)
www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1965_num_18_2_2414 (la méthode scientifique de galilée)
wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Newton)
wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein (Albert Einstein)
wikipedia.org/wiki/Felix_Klein (Felix Klein)
wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy (ll fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard Euler, Paul Erdős etArthur Cayley avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence dessuites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fourier.html (Jean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriquesconvergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la chaleur )
https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre (Adrien-Marie Legendre)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernt_Michael_Holmboe (Bernt Michael Holmboe, né le 23 mars 1795 à Vang et mort le 28 mars 1850 à Christiania (aujourd'hui Oslo)1, est un mathématicien norvégien)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot (Louis Poinsot (3 janvier 1777 à Clermont-en-Beauvaisis1 - 5 décembre 1859 à Paris) est un mathématicien français connu pour ses contributions à la mécanique rationnelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony (Gaspard Clair François Marie Riche, baron de Prony1, né à Chamelet (Rhône) le 22 juillet 1755 et mort à Asnières-sur-Seine le 29 juillet 1839, est un ingénieur, hydraulicien et encyclopédiste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Navier (Claude Louis Marie Henri Navier: ingénieur, mathématicien, économiste)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 à Pithiviers - 25 avril 1840 à Sceaux) est un mathématicien, géomètre et physicienfrançais)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Taton (René Taton, historien des sciences)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Chevalier (Auguste Jean Baptiste Chevalier, un ami très proche de Galois, né le 23 juin 1873 à Domfront et mort dans la nuit du 3 au 4 juin 1956 à Paris, est un biologiste et botaniste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Victor_Cousin (Victor Cousin est un philosophe et homme politique français, né à Paris le 28 novembre 1792 et mort à Cannes (Alpes-Maritimes) le 14 janvier 1867. Philosophe spiritualiste, chef de l'école éclectique)
https://fr.wikipedia.org/wiki/August_Leopold_Crelle (August_Leopold_Crelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville (Joseph Liouville)
Théorème de Noether symétries et conservations
https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique) (Théorème de noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(math%C3%A9matiques) (Théorème de Noether -mathématiques)
http://www.entropologie.fr/2014/08/principe-d-incertitude-et-theoreme-de-noether.html (Principe d’incertitude et théorème de Noether L’objet se constitue scientifiquement en s’émancipant de l’Observateur. Il y a une sorte d’effet miroir entre le Sujet et l’Objet)
http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm (Relation entre le théorème de noether et le lagrangien)
http://webinet.blogspot.fr/2009/09/le-theoreme-de-noether-couteau-suisse.html (Le théorème de noether, couteau suisse de la physique)
http://geometrie-differentielle-par-le-calcul.com/file/19-chap16-th-de-noether.pdf (Le théorème de noether et les champs de jauge)
Symétries dans la nature:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10cpt/introduction.html (feymnan.ulaval.ca: les symétries discrètes, les symétries fondamentales C P T, la symétrie CP, la symétrie CPT)
http://lpsc.in2p3.fr/atlas/cours/PCT.pdf (Symétries discrètes P C T Règles de sélection)
http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/30/040/30040928.pdf (Symétrie et brisure de symétrie en mécanique quantique Philippe CHOMAZ)
http://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/lie/CarusoNotesGroupesEtAlgebresDeLie.pdf (Introduction aux groupes et algèbres de Lie)
http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GroupesLie/GAL.pdf (Université pierre et Marie Curie: Groupes et Algèbres de Lie)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes et introduction à la force électrofaible)
Le paradoxe EPR:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03epr/index.html (le paradoxe EPR et les variables cachées)
Théorie des groupes:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes (Théorie des groupes)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)
http://www.math.univ-angers.fr/~schaub/algebre.pdf (ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES. Licence de Mathématiques Université d’Angers)
http://trucsmaths.free.fr/rubik_groupe.htm (Théorie des groupes et Rubik's cube)
https://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) Groupe mathématiques)
http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2011/sciences-et-techniques/evariste-galois
http://images.math.cnrs.fr/Evariste-Galois-enfance-d-un-genie.html#menu evariste galois: enfance d'un génie malheureux
http://www.futura-sciences.com/magazines/mathematiques/infos/actu/d/mathematiques-evariste-galois-genie-mathematiques-mort-20-ans-34217/ Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans
https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76 (Page:Galois - Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois (Théorie de Galois)
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https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/enseignement/arith-p13/cours.pdf (De l'arithmétique à la théorie des nombres par Boyer Pascal)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_%C3%A0_l%27origine (la théorie de Galois à l'origine est fondé sur l'étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd'hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l'intention de décrire les permutations des racines)
https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/gal/g.pdf (INTRODUCTION A LA TH EORIE DE GALOIS ET LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE, THEORIE DE GALOIS)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois ( la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois)
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https://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique) (La symétrie en physique)
http://poesieetautres.unblog.fr/2015/03/02/peut-on-savoir-quelles-sont-les-limites-de-la-connaissance-scientifique/ (Peut on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?)
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Mathématiciens et scientifiques:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (siméon denis poisson)
http://www.alainconnes.org/fr/ (Alain Connes, le site)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Ramis (Jean-Pierre Ramis, Ses travaux concernent les systèmes dynamiques des fonctions du champ complexe, discrets (équations aux différences et q-différences) et continus (équations différentielles), notamment les notions d'intégrabilité (théorie de Morales-Ramis) et la théorie de Galois différentielle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel (Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 à Froland près d'Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.)
wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant) (galilée)
www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1965_num_18_2_2414 (la méthode scientifique de galilée)
wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Newton)
wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein (Albert Einstein)
wikipedia.org/wiki/Felix_Klein (Felix Klein)
wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fourier.html (Jean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriquesconvergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la chaleur )
https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre (Adrien-Marie Legendre)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernt_Michael_Holmboe (Bernt Michael Holmboe, né le 23 mars 1795 à Vang et mort le 28 mars 1850 à Christiania (aujourd'hui Oslo)1, est un mathématicien norvégien)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot (Louis Poinsot (3 janvier 1777 à Clermont-en-Beauvaisis1 - 5 décembre 1859 à Paris) est un mathématicien français connu pour ses contributions à la mécanique rationnelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony (Gaspard Clair François Marie Riche, baron de Prony1, né à Chamelet (Rhône) le 22 juillet 1755 et mort à Asnières-sur-Seine le 29 juillet 1839, est un ingénieur, hydraulicien et encyclopédiste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Navier (Claude Louis Marie Henri Navier: ingénieur, mathématicien, économiste)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 à Pithiviers - 25 avril 1840 à Sceaux) est un mathématicien, géomètre et physicienfrançais)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Taton (René Taton, historien des sciences)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Chevalier (Auguste Jean Baptiste Chevalier, un ami très proche de Galois, né le 23 juin 1873 à Domfront et mort dans la nuit du 3 au 4 juin 1956 à Paris, est un biologiste et botaniste français)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Victor_Cousin (Victor Cousin est un philosophe et homme politique français, né à Paris le 28 novembre 1792 et mort à Cannes (Alpes-Maritimes) le 14 janvier 1867. Philosophe spiritualiste, chef de l'école éclectique)
https://fr.wikipedia.org/wiki/August_Leopold_Crelle (August_Leopold_Crelle)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville (Joseph Liouville)
Théorème de Noether symétries et conservations
https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique) (Théorème de noether)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(math%C3%A9matiques) (Théorème de Noether -mathématiques)
http://www.entropologie.fr/2014/08/principe-d-incertitude-et-theoreme-de-noether.html (Principe d’incertitude et théorème de Noether L’objet se constitue scientifiquement en s’émancipant de l’Observateur. Il y a une sorte d’effet miroir entre le Sujet et l’Objet)
http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm (Relation entre le théorème de noether et le lagrangien)
http://webinet.blogspot.fr/2009/09/le-theoreme-de-noether-couteau-suisse.html (Le théorème de noether, couteau suisse de la physique)
http://geometrie-differentielle-par-le-calcul.com/file/19-chap16-th-de-noether.pdf (Le théorème de noether et les champs de jauge)
http://www.fuw.edu.pl/~amt/CdeF63.pdf (Propriétés d'invariance des théories physiques)
http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/expose-Noether.pdf (Symétries et lois de conservation
ou le premier théorème de Noether)Symétries dans la nature:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10cpt/introduction.html (feymnan.ulaval.ca: les symétries discrètes, les symétries fondamentales C P T, la symétrie CP, la symétrie CPT)
http://lpsc.in2p3.fr/atlas/cours/PCT.pdf (Symétries discrètes P C T Règles de sélection)
http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/30/040/30040928.pdf (Symétrie et brisure de symétrie en mécanique quantique Philippe CHOMAZ)
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Chromodynamique quantique:
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Unification des forces:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10preons/p1.htm (feynman.ulaval.ca: unification des forces modèle de Pari-Salam, les 2 modles, quarks et préons...)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10unification/Accueil.html (feynman.ulaval.ca: unufication des forces, le modèle SU(5), le modèle SO(10))
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: l'unification des forces, la théorie électro-faible, le modèle standard, la grande unification, la gravité quantique à boucles, et la théorie des cordes)
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blogs Groupes quantiques.
introduction aux groupes quantiques.
INTRODUCTION AUX GROUPES QUANTIQUES par Julien Bichon
groupe quantique localement compact type III
groupes quantiques techniques galoisiennes et d'intégration
le groupe quantique compact libre 1
groupes quantiques séminaire bourbaki
Alain connes: une autre vision de l'espace
groupes quantiques forum mathématiques.net
groiupes quantiques localement compacts exemples et coactions.
Théorie_quantique_des_champs
interactions fondamentales et théorie quantique des champs
Mes cours feynman.ulaval.ca
Electro-dynamique quantique:
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/II.htm ( Introduction à l'électrodynamique quantique)
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/11susy/page3.html (feymnan.ulaval.ca: la supersymétrie et la brisure de symétrie)
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groupes et groupes quantiques:
vimeo.com -qu'est-ce qu'un groupe quantique?
les-mathematiques.net -les groupes quantiques
Groupe_quantique wikipedia.org -théorie quantique_des_champs
univ-reims.fr -algèbre, groupes quantiques et théorie des représentations
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dorane.chez-alice.fr champ subquantique et mystique oocities.org -champ subquantique
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wikipedia.org -Groupe_de_renormalisation
wwwold.phys.univ-tours.fr -Qu'est-ce que le groupe de renormalisation ?
academie-sciences.fr -Théorie quantique des champs et groupe de renormalisation Jean Zinn-Justin
math.univ-lyon1.fr -groupes de séries et renormalisation des champs quantiques
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