Les limites de la connaissances. Le chaos quantique

Les limites de la connaissances. Le chaos quantique

fractale

La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d'une formule qui explique tout? N'y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l'intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?

Hervé Zwirn pense qu'il n'en n'est rien.La science, en même temps qu'elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C'est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gödel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

L'analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu'est ce que le réel?

Je voudrais ici faire partager ma lecture de Hervé Zwirn sur le chapitre du chaos quantique.

1) Introduction.


Cet article fait suite à l'article de mon blog sur le chaos déterministe: 
Les limites de la connaissance 5) déterminisme et chaos. deuxième partie: le chaos déterministe. 
Il est conseillé de revoir cet article avant d'aborder le chaos quantique. 
Selon Gutzwiller, "l'expression "chaos quantique" décrit aujourd'hui plus un mystère qu'un phénomène bien identifié." 


"Pour wikipédia", Le « chaos quantique » est un raccourci qui désigne un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique. Ce champ de recherche tente essentiellement de répondre à la question : Quel est le comportement en mécanique quantique d'un système classiquement chaotique ?

Ces recherches ont montré que : 

.il n'existe pas de « chaos quantique » au sens strict du terme, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de divergence exponentielle des états quantiques au cours du temps dans l'espace de Hilbert qui serait l'analogue de la divergence exponentielle des orbites dans l'espace des phases classique. Cette absence de « sensibilité aux conditions initiales » en mécanique quantique est lié au fait que l'équation de Schrödinger est une équation linéaire. C'est pourquoi Michael Berry a suggéré d'utiliser l'expression « chaologie quantique » à la place de « chaos quantique ».

.cependant, les systèmes physiques classiquement chaotiques présentent certaines propriétés quantiques clairement distinctes de celles des systèmes classiquement intégrables : il existe en quelque sorte des « signatures » quantiques du chaos classique sous-jacent.

Signatures quantique du chaos classique. 

1) Orbites périodiques et spectre d'énergie. 

.En utilisant la formulation de Feynman en intégrale de chemin de la mécanique quantique, Martin Gutzwiller (IBM, New York) a démontré en 1971 une relation intégrale liant à la limite semi-classique le spectre d'énergie quantique d'un système physique aux orbites périodiques classiques de ce même système. Cette relation est aujourd'hui appelée formule des traces de Gutzwiller en son honneur¹. Or, les orbites périodiques ont des propriétés très différentes selon que la dynamique hamiltonienne classique est intégrable ou chaotique.

.Il est intéressant de remarquer qu'il existe un système physique pour lequel la formule des traces approchée de Gutzwiller est en fait exacte : c'est le flot géodésique sur une surface compacte à courbure négative constante². Une telle surface peut se représenter comme l'espace quotient du demi-plan de Poincaré par un sous-groupe discret du groupe  des isométries. Cette formule exacte a été établie en 1956 par le mathématicien Atle Selberg (indépendamment de la physique et des intégrales de chemin), et est aujourd'hui appelée formule des traces de Selberg en son honneur.

2) Propriétés statistiques du spectre d'énergie. 

Les propriétés statistiques du spectre d'énergie d'un système physique classiquement chaotique sont très différentes de celle d'un système intégrable. Oriol Bohigas, Marie-Joya Giannoni et Charles Schmidt (Institut de physique nucléaire, Orsay) ont conjecturé que les propriétés des fluctuations statistiques du spectre d'énergie d'un système physique classiquement chaotique sont universelles(une fois normalisées), et bien décrites par un ensemble de matrices aléatoires qui ne dépend que des symétries du système.

2) Après cette introduction plutôt difficile à suivre, commençons par le début pour arriver au chaos quantique à partir du chaos classique décrit dans l'article 5.

On a vu avec le chaos déterministe, que le phénomène de sensibilité aux conditions initiales implique qu'une erreur initiale s'amplifie exponentiellement avec le temps. Il semblerait possible qu'en augmentant la précision avec laquelle on se donne les conditions initiales, on pourrait obtenir des prédictions correctes pour des intervalles de temps de plus en plus en plus longs, ce qui pourrait amoindrir l'effet du chaos. Mais même si, en principe, on peut peut augmenter indéfiniment la précision sur les conditions initiales, en pratique, il existe certaines limites qui paraissent infranchissables. On aboutit alors à une impossibilité de fait et non une impossibilité de principe. 

Une deuxième objection provient du formalisme quantique et des relations d'incertitude de Heinsenberg. Celles-ci posent des limitations de principe à la précision qu'on peut atteindre sur l'état initial (position par exemple). Cette précision maximale ne permet donc que des prédictions ayant une précision limitée pour un horizon temporel donné, donc il existe un temps pour lequel la prédiction sur l'état du système aura une incertitude aussi grande qu'on veut. Cela veut dire qu'on ne saura absolument plus rien sur la position du système. Attention, ces relations n'ont de sens qu'en mécanique quantique et le raisonnement précédent mélange aspects classique et quantique. Il convient de se placer totalement dans le cadre quantique.


3) Retour au chaos classique.
Avant de se placer dans ce cadre, un retour au chaos classique est nécessaire. Un système régi par une équation différentielle non linéaire est dit "chaotique" si:

Attracteur de Lorentz

     a) Il est sujet au phénomène de sensibilité aux conditions initiales. Cela veut dire qu'une erreur sur l'état initial s'amplifie localement exponentiellement avec le temps  (selon une loi du type , où τ est un temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois « horizon de Lyapounov »⁸. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants , pour lesquels l'exponentielle vaut approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour , toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz reste vrai). 


Définition wikipédia: La sensibilité aux conditions initiales est un phénomène découvert dès la fin du xixe siècle par Poincaré dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste, puis parHadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entrainé un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Il a été redécouvert en 1963 par Lorenz lors de ses travaux en météorologie.

Cette sensibilité explique le fait que, pour un système chaotique, une modification infime des conditions initiales peut entrainer des résultats imprévisibles sur le long terme. Ce résultat est souvent vulgarisé sous le nom « d'effet papillon ».

La sensibilité aux conditions initiales se traduit mathématiquement par l'hyperbolicité d'une partie de l'espace des phases du système, hyperbolicité à laquelle est associée un ensemble d'exposants de Lyapounov positifs, ainsi qu'une entropie topologique également positive.

      b) Il est sujet au phénomène du "mixing" (les trajectoires dans l'espace des phases se rassemblent à nouveau pour se re-séparer et se re-assembler à l'infini), lorsque la dynamique est confinée dans une région finie de l'espace des phases.

Dans le cas a), le système ne serait pas confinée à une région finie pourrait avoir des trajectoires qui divergent exponentiellement sans qu'il y ait forcément chaos, comme dans le cas d'une gerbe éclatant à l'infini. Pour un système chaotique, toute région initiale de l'espace des phases aussi petite soit-elle s'étend asymptotiquement à la totalité de l'espace accessible, tout en restant à l'intérieur d'une région finie. C'est ce qui crée l'imbrication des attracteurs étranges et leur nature fractale. Une trajectoire donnée passera une infinité de fois aussi près qu'on le souhaite de tout point de l'espace des phases.

4) Le chaos quantique.

     a) les limites classiques.

La mécanique quantique est la théorie fondamentale dont la mécanique classique est une approximation pour les objets macroscopiques. La mécanique classique est la limite de la théorie de la relativité restreinte lorsque c (vitesse de la lumière) tend vers l'infini, et de la mécanique quantique quant on fait tendre h (constance de Planck) vers 0. Cela se montre assez facilement pour la relativité. Par contre il est plus difficile de rendre compte de l'aspect classique du monde macroscopique dans le cadre du formalisme quantique comme on l'a vu dans les articles précédents. Quand fait tendre h vers 0 dans des approches "semi-classiques" (comportement de grandeurs quantiques comme les niveaux d'énergie, les fonctions d'ondes ou les probabilités de désintégration), les limites sont différentes des valeurs classiques pour lesquelles h vaut précisément 0. Il a été montré qu'une des raisons est que les fonctions quantiques ne sont pas analytiques en h quand h tend vers 0. 
En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout x0 de ce domaine, il existe une suite (an) donnant une expression de la fonction, valable pour tout x assez proche de x0, sous la forme d'une série convergente :  (dans ce cas, la limite pour x --> a de f (x) est f(a)).

Cela pose donc un problème lorsqu'on cherche à étudier la limite semi-classique d'un comportement quantique. Mais si le chaos classique existe, on devrait trouver sa source dans le chaos quantique. Le formalisme quantique permet-il ou pas d'engendrer des comportements chaotiques?

4) Définition du chaos quantique?

La définition classique (qui est que l'incertitude sur l'état initial s'amplifie de manière exponentielle) avec le temps s'appuie sur le concept d'état classique, qui regroupe la totalité des informations sur les grandeurs physiques du système, ou sur la notion de trajectoire dans l'espace des phases, qui représente l'évolution relative des grandeurs associées à l'état. Pour un point matériel dans l'espace à 3 dimensions, les grandeurs correspondantes sont le vecteur position p et le vecteur quantité de mouvement q. Les trajectoires dans l'espace des phases sont des courbes de l'espace à 6 dimensions qui décrivent les valeurs que peuvent prendre simultanément p et q. Dans l'image intuitive du chaos, l'évolution, continue dans le temps, des valeurs des grandeurs physiques (2 points de l'espace des phases) aussi voisines soient-elle, s'écarteront exponentiellement. Cette image est est liée à la notion d'évolution continue matérialisée par des trajectoires. 

En mécanique quantique, le concept de trajectoire a disparu. Les grandeurs physiques n'acquièrent de valeur définie que lors d'une mesure. L'évolution de la valeur d'une grandeur est donc discontinue et dépend des mesures qui seront ou non effectuées. De plus, on ne peut pas considérer qu'en l'absence de mesure elle possède une quelconque valeur et si on en connaît précisément la valeur pour l'avoir mesurée, la grandeur conjuguée est non seulement inconnue mais totalement indéterminée. La définition classique du chaos ne s'applique donc plus. 

5) le chaos quantique existe-t-il?

On doit chercher le hasard dans l'évolution des systèmes quantiques dans une autre raison que la densité de probabilité (Ψ* Ψ:L'opérateur densité est défini pour un état pur par :). Les raisons peuvent être cherchées dans l'évolution de la fonction d'ondes ou dans les valeurs propres et les états propres des opérateurs qui pourraient varier de manière  aléatoire.

          a) Evolution dans le temps de la fonction d'ondes. 

Recherche des états propres de l'opérateur hamiltonien.

Ces états sont donc solutions de l'équation aux états et valeurs propres,

qui porte parfois le nom d’équation de Schrödinger indépendante du temps.

D'une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l'hamiltonien, , et de l'énergie associée, fournit l'état stationnaire correspondant, solution de l'équation de Schrödinger :  Pour les systèmes à un nombre fini n de particules, spatialement limités et indépendants du temps, une solution de l'équation de Schrödinger peut alors s'écrire très généralement comme une combinaison linéaire de tels états :

Les  sont les fonctions d'ondes propres et les Cn,j les valeurs propres discrètes. Ψ(t) peut s'écrire sous la forme Ψ(x,t) lorsque l'indice j est transformé en variables d'espace. Le comportement de Ψ est quasi périodique car les valeurs propres sont discrètes et donc aucune comportement chaotique ne peut être obtenu. Lorsque h tend vers 0, le spectre des valeurs propres devient continu, le comportement perd son aspect quasi périodique, mais le comportement du système quantique reste non chaotique quand h tend vers 0 tout en restant non nul. Cela signifie que même si l'analogue du système quantique est chaotique, on ne peut obtenir son comportement par un passage à la limite, comme l'application du système de correspondance semble l'indiquer. Pour les systèmes à un nombre fini de particules, le spectre des valeurs propres est continu et il n'y a pas de quasi-périodicité. Sans possibilité de solution analytique, il est nécessaire de prendre des cas particuliers. Par exemple Chirikov a étudié "le rotateur forcé" (plan rigide en rotation auquel on applique des impulsions durant des temps extrêmement courts. Mais ce dernier adopte des comportements chaotiques pendant un certain temps, puis le perd au bout d'un temps assez court). Cela ne prouve pas qu'il ne peut exister de fonctionnement chaotique de la fonction d'onde, mais il semble difficile d'en trouver un.


          b) Les fonctions propres et les valeurs propres.

Excitation d'atomes de rubidium (en rouge au centre de la photo)
vers l'état de Rydberg par un rayon laser bleu

Si les valeurs propre d'énergie d'un système sont chaotiques, elles doivent être sensibles aux petites variations qui lui sont appliquées. Si on prend l'exemple d'un atome d'hydrogène, aux basses énergies, quand l'électron est proche du proton, les valeurs permises, discontinues, sont éloignées les unes des autres. En revanche, pour les grandes énergies, les énergies permises se rapprochent jusqu'à se fondre dans un continuum.On a alors "un atome de Rydberg" dont le comportement est à la limite entre les mondes classique et quantique. Une apparition du chaos y a été constatée dans la répartition des niveaux d'énergie par l'analyse du comportement d'un tel atome dans un champ magnétique intense.

définition wikipédia: En Physique atomique, on appelle atome de Rydberg l'état excité d'un atome, possédant un ou plusieurs électrons et dont le nombre quantique principal n (numéro de la couche) est très élevé. Ces atomes sont étudiables en première approche à l'aide de la théorie de l'atome de Bohr, le rayon de l'orbite d'un électron étant donné par la formule : où a0 est le rayon de Bohr et Z lenuméro atomique de l'atome considéré.

De même, dans la diffusion d'un électron par les atomes d'une molécule, le chaos se manifeste par les variations du temps de piégeage de l'électron au sein de la molécule. Des variations infimes de l'énergie ou de la direction initiale de l'électron provoquent de très importantes variations de sa direction de sortie de la molécule. 

D'autres résultats vont dans le même sens. Il semble donc que le chaos quantique ait été découvert.  L'article qui suit semble le prouver.

Le chaos quantique

Article de "pour la science": ACTUALITES - MATHÉMATIQUES

Le chaos quantique mieux compris

La conjecture d'ergodicité quantique unique, qui prédit le comportement des systèmes chaotiques quantiques, est en partie résolue.

Philippe Ribeau-Gésippe.

Pour en savoir plus

http://www.aimath.org/news/que

Comment se comportent les systèmes chaotiques – très sensibles aux conditions initiales – lorsqu'ils sont transposés de la physique classique à l'univers quantique, où les particules ponctuelles cèdent la place aux fonctions d'onde ? K. Soundararajan, de l'Université de Stanford, et Roman Holowinsky, de l'Université de Toronto, ont fait un pas en avant vers la résolution d'une importante conjecture de ce domaine, dit du chaos quantique ; il s'agit de la conjecture d'ergodicité quantique unique, formulée au début des années 1990.

Un exemple type de système de chaos quantique est le billard quantique. En mécanique classique, la trajectoire d'une bille idéale lancée sur une table de billard rectangulaire est facile à décrire et à prévoir rebond après rebond. Toutefois, lorsque les coins du billard sont arrondis, le mouvement de la bille devient vite imprévisible au fil des rebonds : ce système est chaotique. En outre, il est ergodique, c'est-à-dire que la bille parcourt toute la surface du billard et passe autant de temps dans chaque région. Il existe néanmoins des trajectoires périodiques, par exemple si la bille est lancée perpendiculairement à un bord.

Dans la version quantique du problème, on étudie non plus le comportement d'une bille, mais celui d'ondes stationnaires, correspondant aux états propres d'énergie d'une particule quantique en mouvement à l'intérieur du billard. Dans les systèmes quantiques non ergodiques, ces ondes se concentrent dans certaines zones. En revanche, on a montré que dans les systèmes ergodiques quantiques, la plupart des états propres s'étalent de façon uniforme dans le domaine considéré.

Mais est-ce vrai pour tous les modes et pour toutes les surfaces ? En d'autres termes, existe-t-il un analogue des trajectoires périodiques classiques dans les systèmes ergodiques quantiques ? Des simulations numériques de billard chaotique quantique vont dans ce sens : certains modes stationnaires se concentrent le long des trajectoires périodiques du système classique correspondant, un phénomène connu sous le nom de « cicatrices ».

Cependant, en 1991, Peter Sarnak et Zeev Rudnik ont conjecturé que dans les systèmes quantiques analogues au billard, mais sur des surfaces ou d'autres espaces à courbure négative (une surface en « selle de cheval » en est un exemple), les états propres sont toujours uniformément distribués, en d'autres termes, ces systèmes sont « uniquement ergodiques ».

C'est cette conjecture qu'ont résolue R. Holowinsky et K. Soundararajan pour une classe générale de surfaces, par deux approches différentes, mais complémentaires. La structure particulière des systèmes qu'ils ont étudiés leur a permis d'utiliser des techniques issues de la théorie des nombres, une branche des mathématiques pures qui a révélé ces dernières décennies des connexions inattendues avec la physique.