Notre existence a t-elle un sens? 15) Une voie rationnelle vers le monde de l'esprit?astrosurf.com/quasar95/exposes/philo_sciences.pdf Une introduction à la philosophie des scienceshttps://excerpts.numilog.com/books/9782081330085.pdf Michel Bitbol: la conscience a t-elle une origine?Science et religion, les éléments d’un rapprochementQuelle réponse à « la question la plus importante qui soit » ?http://www.uip.edu/blog/physique-quantique-et-valeurs-humaines Physique quantique et valeurs humaines par Henry Stappmartial-versaux.net/wp-content/uploads/2011/12/2009.pdf quoi de neuf à propos de l'homme?Le réel voilé et la fin des certitudes, ou la vraie défaite d'Alan Sokal. Par Jean Staune et Bernard d'Espagnat. Convergences, n° 6, printemps 1998: voir http://peccatte.karefil.com/SBPresse/SokalBricmontPresse.html Sokal & Bricmont dans la presse francophonegisnt.org/pdf/L'importance%20des%20%C3%A9tats%20virtuels.pdf L'importance des états virtuels dans l'émergence de l'ordre complexe dans l'univers
http://www.jeanstaune.fr/towards-non-physical-realismnouvelle-page.html Le réalisme classique et le réalisme non physique
isalisea.over-blog.com -Isalisëa, fille de Sûl parle de "notre existence a-t-elle un sens?"
http://www.nidhalguessoum.org/content/notre-existence-t-elle-un-sens-une-enqu%C3%AAte-scientifique-et-philosophique Notre existence a t-elle un sens? lecture de nidhalguessoumhttps://fr.soc.religion.narkive.com/44nUnvyp/la-science-conduit-elle-a-la-transcendance-par-jean-staune La science conduit-elle à la transcendance ?" Par Jean Stauneacademiesciencesmoralesetpolitiques.fr/2001/02/20/implications-philosophiques-de-la-science-contemporaine/ Implications philosophiques de la science contemporaine
Cette série d'articles dans la catégorie "notre existence a t-elle un sens"? est l'expression de ce que j'ai écrit dans la présentation de mon blog: "Les merveilles de la nature me fascinent. Mes réflexions: le sens de l'Univers et de l'existence. En moi, il y a deux mondes: le monde extérieur du "faire"et le monde de l'intérieur, non conscient, mais tout autant réel. Ma devise: l'essentiel, c'est l'amour, amour du sacré. Mes modèles: Jésus (l'amour),Pythagore (la mathématique), Einstein (la physique)".Je voudrais faire partager la lecture du livre de Jean Staune, notre existence a-t-elle en sens, avec mes réflexions et les liens qu'elle m'a permis découvrir à travers internet. Ma quête est de retrouver (avec Jean Staune), le réenchantement du monde au cours des articles.Mes articles dans cette rubrique:
liens https://monblogdereflexions.blogspot.com/2012/06/mes-liens-pour-les-articles-existence-t.html#.YCWURmhKiWt Mes liens pour les articles "notre existence a t-elle un sens?"Article 17) Epilogue: Résumé de la démarche https://monblogdereflexions.blogspot.com/2013/11/notre-existence-t-elle-un-sens-17_27.html#.YChCvWhKiWuArticle 16-3) Conclusion du livre existence a-t-elle un sens" https://monblogdereflexions.blogspot.com/2013/11/16-3-notre-existence-t-elle-un-sens-16_6.html#.YCj15WhKiWvArticle 16-2) Conclusion du livre "notre existence a-t-elle un sens ?" partie 2https://monblogdereflexions.blogspot.com/2013/10/16-2-notre-existence-t-elle-un-sens-16_16.html#.YCw0hGhKiWv
Article 15) Une voie rationnelle vers le monde de l'esprit?Article 14-2) L'homme non-neuronal deuxième partieArticle 14-1) L'homme non-neuronal, première partieArticle 13-2) Dur, dur le problème (la conscience 2ème partie)Article 13-1) Dur, dur le problème (la conscience 1ère partie)Article12-2) "Recherchons Einstein de l'évolution (urgent).Article 12-1) "Recherchons Einstein de l'évolution (urgent). Partie 1Article 11-2) Un point sur les articles déjà parus(l'infiniment grand et l'origine de l'Univers)Article 11 - 1) Un point sur les articles déjà parus(la naissance de la physique quantique et la connaissance du réel)Article 9-2) Dieu revient très fort partie 2Article 9-1) Dieu revient très fort partie 1Article 8 partie 2) Le murmure du big bang..la genèse du big bangArticle 8 partie 1) le murmure du big bang...La deuxième fissure dans les théories classiquesEntendez-vous le murmure du big bang le soir au fond des radiotélescopes?Article 7-2) vous qui entrez ici perdez toute espérance...de revenir au monde classique partie 2Article 7-1) vous qui entrez ici perdez toute espérance... de revenir au monde classique partie 2Article 6-2) Vers un réalisme non physique...deuxième partieArticle 6-1) Vers un réalisme non physique...première partieArticle 5-2) Au-delà de cette limite, notre vision du monde n'est plus valable (la non-localité)
Article 5-1) Au-delà de cette limite, notre vision du monde n'est plus valable.Naissance de la mécanique quantiqueArticle 4) Vers de nouvelles "lumières"Article 3) Comment ébaucher un "traité de la condition humaine"?Article 2) Le désenchantement du monde (et de l'homme!)Article 1) à propos de la préface du livre par Trinh Xuan Thuan Le désenchantement de l'homme et du monde. https://monblogdereflexions.blogspot.com/2012/06/notre-existence-t-elle-un-sens-1-propos.html#.YCWXE2hKiWvExergue: "Il semble que l'on puisse réfuter l'idée que les mathématiques soient une création de l'esprit humain. [...] Cela implique que les objets et les faits mathématiques existent objectivement et indépendamment de nos actions mentales et de nos décisions." Kurt Gödel.
Apres les articles précédents qui ont exposé le... "Hard problem of consciousness", expression inventée par David Chalmers, je poursuis ma lecture du livre de jean staune "Notre existence a-t-elle un sens?" avec ce titre qui semble a priori contradictoire: "Une voie rationnelle vers le monde de l'esprit?"
1) Sommes-nous en contact avec un "monde des mathématiques?."
Nous avons vu dans les articles précédents qu'un "monde de l'esprit" est concevable au vu des expériences effectuées sur la conscience et le libre-arbitre et aussi en raison de la conception du monde que nous donne la physique quantique (voir en particulier les phénomènes de non-localité, article 7-1 et article 7-2). Mais avons-nous d'autres indices de l'existence d'un tel monde et du fait que notre conscience serait en contact avec lui, voire immergé en lui? Une voie pourrait être recherchée dans l'analyse des expériences mystiques rapportées par les différentes traditions. Mais si on ne considère que les faits scientifiques et leurs interprétations, des indices d'un monde de l'esprit peuvent recherchés dans la question de la nature des mathématiques. Cela peut sembler paradoxal, car a priori, rien ne semble plus rationnel et plus éloigné du monde de l'esprit que des équations.
Pourtant, de nombreux grands mathématiciens ont rapporté que certaines grandes découvertes leur sont venues d'illuminations, comme si un voile se soulevait et leur donnait accès à quelque chose qui préexistait. Les mathématiques seraient un monde que l'on explore petit à petit mais qui existait bien avant que l'homme existe et non une construction de l'esprit humain. II y aurait donc un "monde des êtres mathématiques" qui existerait de toute éternité et avec lequel l'esprit humain pourrait entrer en contact (Le platonisme mathématique ou «réalisme en mathématiques» est une théorie épistémologique selon laquelle les entités mathématiques (nombres, figures géométriques, etc.) ont une existence indépendante. Ce ne sont pas de vulgaires abstractions tirées du monde sensible (connu par les sens), ni de pures conventions, ni de simples instruments, mais des êtres jouissant d'une vie propre, comme les Idées de Platon ou même comme les êtres physiques).
Un exemple frappant est celui de Andrew Wiles qui a gravi "l'Everest des mathématiques" en démontrant le fameux dernier théorème de Fermat: (voir Andrew Wiles et le théorème de Fermat). "On sait queou encore que
. Il existe une infinité de tels triplets d’entiers. Par contre on ne trouve aucun triplet d’entiers a, b et c non nuls tels que
; c’est la même situation avec la puissance 4 et les suivantes. Le théorème de Fermat s’exprime ainsi : L’équation
n’a pas de solution entière non nulle pour
. Ce problème facile à comprendre porte le nom de Pierre de Fermat un mathématicien toulousain du XVIIème siècle. Dans un ouvrage énonçant cette conjecture, il laissa cette note mystérieuse : "J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir". 350 ans de recherche pouvaient commencer…" Les plus grands mathématiciens de différentes époques ont essayé de le démontrer. Certains ont pu le faire pour certaines catégories de nombres mais jamais pour tous les nombres. Premières approches: Les cas des exposants n = 3, 4 puis 5 et 7 ont été abordés par Euler, Legendre et Cauchy. En 1738, Euler résout le cas n = 4. Le théorème est donc aussi prouvé pour toutes les puissances de n multiples de 4. En 1753, Euler transforme l'équation en z3 = x3 + y3 = 2a(a2 + 3b2). L'étude des propriétés des nombres de la forme a2 + 3b2 sera omise de sa première preuve. La même omission sera reprise par Legendre. Euler se penche à nouveau sur la question et finit par apporter une preuve satisfaisante pour n = 3. En 1801, Gauss donne une autre preuve, mais rigoureuse, elle, pour le cas n = 3. Il travaille dans ℚ(√–3) et nomme à l'occasion entiersles complexes de ℤ[j]. En 1816, l'Académie des sciences de Paris offre une médaille d'or et un prix de 3 000 francs à celui qui résoudrait la question. En 1825, un calcul élégant de Sophie Germain permet à Dirichlet de proposer une preuve incomplète pour le cas n = 5. Elle est publiée et complétée dans le Journal de Crelle en 1828. La même année, toujours grâce à la solution de Sophie Germain, Legendre résout lui aussi cas n = 5. Il en déduit une généralisation portant sur une famille entière de nombres n premiers. En 1832, Dirichlet prouve le cas n = 14. En 1839, Lamé prouve le cas n = 7... Au fil du temps, la démonstration était devenue un "Graal des mathématiques". Nombreux étaient ceux qui pensaient qu'elle n'existait sans doute pas et s'y attaquer, c'était comme vouloir créer un mouvement perpétuel. Cette démonstration était devenue un sujet trop ambitieux pour un chercheur.
C'est la raison pour laquelle Wiles a tu pendant 7 ans qu'il travaillait sur le sujet au point que ses collègues pensaient que s'il avait été un mathématicien brillant, il n'avait maintenant plus d'idées. Il lui a fallu travailler dans un isolement quasi-total pour arriver à son but. Puis, 7 ans après, Wiles annonce avoir démontré la conjecture TSW (pour plus de détails, voir Le théorème de Fermat : huit ans de solitude) dans un cas suffisant pour établir le théorème de Fermat, lors d'un séminaire à Cambridge en 1993, ce qui fut un véritable bombe et fit le tour du monde. Mais à l’automne, l’une des personnes qui effectue une vérification détaillée des manuscrits de Wiles découvre une erreur subtile. Pour Wiles; la situation était dramatique, car si un mathématicien comblait la faille avant lui, ce serait lui qui aurait démontré le théorème de Fermat. "Wiles ne veut pas succomber à l’abattement et se replonge dans le travail, mais maintenant la communauté mathématique tout entière « écoute à la porte »... Il tente de s’isoler de nouveau, et pendant plusieurs mois, toutes les rumeurs circulent. En décembre 1993, il se prononce par un message électronique qui circule dans la communauté, pour confirmer qu’il y a un problème. Au début de l’année 1994, il décide de continuer à travailler en demandant à l’un de ses anciens étudiants, Richard Taylor, de venir l’aider. Au cours de l’été suivant, les deux hommes commencent à perdre confiance et se préparent à admettre l’échec... Mais à l’automne 1994, Wiles a une nouvelle idée qui vient mettre un point final à la preuve. L’article comportant l’essentiel de son travail pour démontrer le Grand Théorème de Fermat est paru en 1995 sous le titre Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem
dans la revue Annals of Mathematics. C’est un article de 109 pages, qui s’appuie sur des
centaines et des centaines de pages de travaux d’autres mathématiciens... En effet, c'est un jour, en descendant l'escalier pour dîner, qu'il "vit" soudain que, en regroupant deux domaines très différents des mathématiques, il pourrait obtenir la solution. En arrivant en bas, il dit à sa femme: "ça y est, je l'ai!" Et c'était vrai, bien qu'il lui fallut plusieurs semaines pour coucher sa solution sur le papier. Ce qu'en dit Jean Staune est intéressant: "Lorsque j'ai eu l'occasion de rencontrer Andrew Wiles dans son bureau de Princetown, j'ai été frappé non par ce qu'il m'a dit mais par son attitude. J'avais en face de moi un père de famille directeur du département de mathématiques de l'une des plus grandes universités au monde. Mais tout, dans ses sourires, son silence, ses regards, son attitude générale, me rappelait non pas un scientifique, mais des rencontres dans une abbaye isolée avec certains moines dont l'attitude et le comportement nous font ressentir qu'ils ont éprouvé un contact avec l'absolu dont aucun mot ne pourrait rendre compte."
Mais tous les mathématiciens ne ressemblent pas à des mystiques. Alain Connes, professeur au Collège de France, médaille Fields (l'équivalent du prix Nobel) est un bon vivant et se dit matérialiste. Voici son témoignage sur "l'illumination" (qui est rationnelle et non mystique, il s'agit de voir un objet mathématique et non une apparition comme celle de la vierge): «Au moment où elle a lieu, l’illumination implique une part considérable d’affectivité, de sorte que l’on ne peut rester passif ou indifférent. La rare fois où cela m’est réellement arrivé, je ne pouvais m’empêcher d’avoir les larmes aux yeux. J’ai souvent observé la chose suivante : une fois la première étape de préparation franchie, on se heurte à un mur. L’erreur à ne pas commettre consiste à attaquer cette difficulté de manière frontale [...]. L'expérience montre que si l'on s'attaque à un problème directement, on épuise très vite toutes les ressources de la "pensée directe", rationnelle [...]. Ce qui est frappant, c'est l'importance, quand je parle de procéder indirectement, de l'éloignement apparent entre le problème initial et le champ d'investigation du moment[...]. Le mathématicien doit évidemment disposer d'une sérénité suffisante. On peut parvenir ainsi à une sorte d’état contemplatif qui n’a rien à voir avec la concentration d’un étudiant en mathématiques qui passe un examen» (dans "matière à penser"). Alain Connes a mis en scène cette illumination dans "Le théâtre quantique" (Odile Jacob), qu'on peut retrouver sur France culture dans l'émission spéciale Alain Connes: Le théâtre quantique est-il ouvert à tous? A lire aussi cette interwiew dans le point: "Votre héroïne, une scientifique hétérodoxe, vit un moment de "fulgurance", de révélation. Vous vouliez mettre en scène la façon dont surgissent les découvertes scientifiques?" "Oui, parce que, dans ces moments là, on a accès à une perception qui va au-delà de ce que le rationnel peut offrir. Après, bien sûr, il faut vérifier, replonger dans le rationnel. Bien sûr, ces moments ne se produisent pas dans le vide. Il ne suffit pas de rester là à attendre. On fait beaucoup de calculs, on a l'impression de n'aboutir à rien, d'être face à un mur. Mais le cerveau a été tellement nourri de questionnements qu'à un moment donné une illumination se produit. C'est une expérience que j'ai vécue, alors que je travaillais avec Jacques Dixmier précisément sur le temps quantique".
https://journals.openedition.org/assr/20243 L’âme sainte de Thomas d’Aquin élevée jusqu’au ciel par saint Pierre et saint Paul
Roger Penrose, professeur à Oxford, rejette le dualisme et n'est pas spiritualiste. Pourtant, il postule l'existence de trois mondes interagissant entre eux. Du monde matériel émerge le monde de l'esprit, qui lui-même a accès au monde platonicien des mathématiques...qui est lui-même le fondement du monde physique ("les deux infinis et l'esprit humain"). Cette hiérarchie en trois niveaux rappelle celle de Karl Popper, ainsi que celle où a tant achoppé le christianisme du Moyen Age: corps, âme, et esprit. Pour Penrose, ce qui constitue une des différences essentielles entre l'être humain et les machines c'est que notre esprit a accès à ce monde platonicien: "Selon Platon, les concepts et les vérités mathématiques résident dans un monde réel dépourvu de toute notion de localisation spatio-temporelle. Le monde de Platon, distinct du monde physique, est un monde idéal de formes parfaites à partir duquel nous devons comprendre le monde physique. Bien que l'univers platonicien ne se laisse pas réduire à nos constructions mentales imparfaites, notre esprit y a toutefois directement accès grâce à une "connaissance immédiate" des formes mathématiques et à une capacité de raisonner sur ces formes. Nous verrons que si notre perception platonicienne peut à l'occasion s'aider du calcul, elle n'est pas limitée par de dernier. C'est ce potentiel de "connaissance immédiate" des concepts mathématiques, cet accès direct au monde platonicien qui confère à l'esprit un pouvoir supérieur à celui de tout dispositif dont l'action repose uniquement sur le calcul."
Les réductionnistes et matérialistes, parmi lesquels figurent de grands mathématiciens ne partagent pas cette vision de l'intuition mathématique. Un exemple est donné dans "Matière à penser" par le dialogue entre Alain Connes et Jean-Pierre Changeux, le fameux partisan de "l'homme neuronal". Changeux considère que les objets mathématiques sont des constructions de l'esprit et n'ont pas d'existence propre. A la notion de simplicité qui lui donne accès à donne accès à de nouvelles régions du paysage mathématique, Changeux répond: "C'est toi qui crée cette simplicité lorsque tu confrontes tes représentations mentales entre elles ou à des objets naturels, lorsque tu constates leur adéquation ou leur inadéquation à l'aide du sens dont tu parles et que je considère comme le produit de nos facultés cérébrales. Encore une fois, est-ce que cela prouve que cette simplicité a une origine immatérielle? [...] Je crains que le "sentiment" que tu as de "découvrir" cette "réalité" toute platonicienne ne soit qu'une vision purement introspective, et de ce fait subjective du problème." Comme il n'est pas possible de prouver que ces "contacts avec le monde platonicien" que rapportent les grands mathématiciens soient réels, faisons un pas en avant tout en restant dans le cadre de la rationalité et de l'objectivité avec un autre grand résultat de la science du XXè siècle, le théorème de Gôdel.
liens: ac-grenoble.fr -platon (Jérôme Laurent)
images.math.cnrs.fr -remarques perso sur la nature des Mathématiques Jean-François Colonna
math.sciences.univ-nantes.fr -mats et physique: le langage de la nature est-il mathématique?
wikipedia.org -Philosophie des mathématiques
mike-soft.fr -La nature des mathématiques mike-soft.fr -La trame
irem.unilim.fr -La nature l'essence et la finalité des maths à la lumière du papyrus de RHIND
dogma.lu -La nature de l’objet math peut-elle rendre compatible phénoménologie et analyticité en philosophie?
franceinter.fr -Le monde des mathématiques avec Cédric Villani wikipedia.org -cedricVillani
wikipedia.org -Platonisme mathématique
wikipedia.org -Dernier théorème de Fermat
pi314159.wordpress.com -Andrew Wiles et le théorème de Fermat
institut.math.jussieu.fr -Le théorème de Fermat : huit ans de solitude
lepoint.fr/science -La science est aussi intuition (et illumination)
blogg.org -Le platonisme de Penrose et ses trois mondes
staune.fr -Résumé et commentaire de "Les Ombres de l’Esprit" de Roger Penrose
larecherche.fr -Francis Crick, Roger Penrose et Gerald Edelman: comprendre la manière dont le cerveau produit la conscience
leonbrunschvicg.wordpress.com -penrose, platon et les mathématiques
jf.bizzart.biz -Insérer de l’âme dans la Science Michaël Friedjung
assr.revues.org -Âme et corps dans l’Occident médiéval : une dualité dynamique, entre pluralité et dualisme
franceculture.fr -matière à penser (dialogue Connes Changeux)
slate.fr -LE THÉÂTRE QUANTIQUE» D'ALAIN CONNES: NOTRE TEMPS EST NÉ DE LA CHALEUR (3/3)
2) Gödel ou la transcendance de la vérité mathématique.
Quelle était la situation et les courants de pensée des mathématiques au début du XXè siècle?(voir en préambule Fondement des mathématiques et Philosophie des mathématiques). Les mathématiciens étaient moins ouverts au réalisme (ou au platonisme) mathématique qu'ils ne le sont aujourd'hui .
- Il y avait des positivistes comme Hans hahn, qui a fait partie du Cercle de Vienne et qui pouvaient dire "En ce qui concerne le monde, le seul point de vue possible me semble être le point de vue empiriste: la connaissance de la réalité ne peut en aucune façon s'obtenir par le pensée."( je rajoute: ??). L’ambition première et fondamentale du positivisme logique ou néo-positivisme est de refonder la science.
On peut rajouter le logicisme qui est la théorie selon laquelle les mathématiques sont une extension de la logique et donc que tous les concepts et théories mathématiques sont réductibles à la logique. Si ce programme était réalisable, il pourrait soutenir le positivisme logique en particulier, et le réductionnisme en général.
- Il y avait les constructivistes qui considéraient que l'on ne peut démontrer l'existence d'objets mathématiques qu'en donnant une construction de ceux-ci, une suite d'opérations mentales qui conduirait à l'évidence de l'existence de ces objets. Les mathématiques sont donc pour eux une construction humaine qu'il faut bâtir solidement, morceau par morceau. L'intuitionnisme de Brouwer peut être considéré comme l'une des formes du constructivisme en mathématiques qu'il a d'ailleurs inspiré
- Il y avait enfin les formalistes, comme David hilbert, l'un des plus grands mathématiciens de l'époque (Un formalisme est un système formel composé d'un langage formel et d'une sémantique représentée par un système déductif ou calculatoire. Il a pour objectif de représenter de manière non-ambiguë un objet d'étude en science. Les formalismes sont très courants en mathématique, logique mathématique ou en informatique théorique).. En 1900, Hilbert énuméra les 23 problèmes que, selon lui, les mathématiques devraient résoudre au cours du siècle qui commençait. Le plus important était de montrer la complétude de la logique (peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires?)
L'enjeu du programme de Hilbert. Toutes les activités humaines formalisables reposent sur des nombres dont les relations entre eux forment l'arithmétique. Il faut donc que celle-ci soit un système cohérent qui permette une reconstruction de l'intégralité des mathématiques sur des fondations indestructibles. Par ailleurs, les raisonnement logiques interviennent de façon fondamentale dans le développement des mathématiques. Il faut donc formaliser la logique pour qu'elle débouche sur un système cohérent et complet permettant le déploiement des mathématiques.
Si nous pouvons faire cela, disait Hilbert, "nous pourrions alors déterminer, pour n'importe quelle proposition logique, sa véracité ou sa fausseté et alors nous aurions une "solution finale (ou finitiste)" au problème de la logique." On retrouve une conception du monde similaire à celle de Laplace ("Si je connaissais la position des particules de l'univers et les lois qui les font interagir, je pourrais en déduire tout le futur de l'Univers") ou de Changeux ("Si je connaissais en détail votre état neuronal, je pourrais en déduire ce que vous allez penser dans une minute et que vous ne savez pas encore.") Mais de même que le rêve de Laplace a été tué par la principe d'incertitude de Heinsenberg et que l'homme neuronal de Changeux a péri, ainsi que le dit Jean Staune, sous les coups de boutoir de Libet, le programme de Hilbert a succombé le 7 octobre 1930 à Königsberg, la ville natale de Kant. "C'était au colloque sur "L'épistémologie des sciences exactes" réunissant l'élite des mathématiques. Gödel, jeune doctorant de 25 ans, bouleverse le champ de la logique mathématique en annonçant son théorème d'incomplétude qui brise tous les espoirs de Bertrand Russell et de David Hilbert de fonder toutes les mathématiques de manière solide. Sur le moment seul John Von Neumann (élève de David Hilbert) comprit l’importance du résultat. Schématiquement exprimé, Gödel démontre que dans tout système formalisable, il existe des vérités (contextuellement vraies) mais non démontrables (dans le système formel des mathématiques)". Gödel qui était élève du positiviste Hans hahn évoqué précédemment, fréquentait les fameuses réunions du Cercle de Vienne, mais il n'était pas positiviste, il était profondément platonicien. En fait, à part Von Neumann, père du premier ordinateur et un des membres clés du projet Manhattan de construction de la bombe atomique, les participants ne saisirent pas la portée de cette déclaration. Personne ne réagit ni ne questionna Gödel. Il n'y a rien de plus formel que que la notion de vérité en mathématiques. Quelque chose est vrai si, et seulement si, on peut démontrer cette vérité. Or Gödel venait de dire que des propositions mathématiques pouvaient être vraies et indémontrables. On avait certainement mal entendu, ce n'était pas possible.
Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.
Après le colloque, Von Neumann dit à Gödel: "Si ce que vous dite est vrai, alors il est impossible de démontrer la cohérence de l'ensemble des mathématiques incluant l'arithmétique". "Mais bien sûr" répondit Gödel, "il s'agit de mon deuxième résultat, il est déjà sous presse." Von Neumann, qui était formaliste, comprit tout de suite que cela signifiait la fin du programme de Hilbert: la logique, l'arithmétique, les mathématiques ne pouvaient pas être fondées sur elles-mêmes. Lorsque Gödel publia en 1931 sa démonstration, ce fut un véritable tsunami qui déferla sur les mathématiques. L'idéal d'axiomatique inauguré par Euclide il y a 2000 ans, paradigme de la rationalité venait de voler en éclats, alors que Hilbert venait de réussir à parfaire l'idée même de "système axiomatique formel." Les résultats et les méthodes employées par Gödel dans sa démonstration étaient si inattendus que que les mathématiciens et les logiciens mirent plusieurs années avant d'en entrevoir la portée.
Maintenant, essayons de faire le lien entre ces résultats et notre sujet de départ: l'illumination en mathématiques. On peut les exprimer de diverses façons simples.
-Tout système d'axiomes contenant l'arithmétique (c'est à dire la théorie des nombres) contient une proposition dont nous pouvons savoir qu'elle est vraie mais qui n'est pas démontrable dans le système en question.
-La cohérence des mathématiques ne peut être démontrée à l'intérieur des mathématiques.
-Tout système d'axiomes contenant la théorie des nombres contient des propositions indécidables (on ne peut pas savoir si elles sont vraies ou fausses).
-Tout système d'axiomes est soit incomplet, soit incohérent car il ne peut être à la fois complet et cohérent.
Alors si des propositions sont non démontrables, comment pouvons nos savoir si elles sont vraies? A ceci Gödel répond: justement, c'est parce que nous avons un contact direct avec avec le monde des vérités mathématiques. En bon platonicien, il avait une foi extraordinaire en l'intuition mathématique, tout aussi réelle que nos perceptions. Cet "optimisme rationaliste", comme il l'appelait, le conduit à tenter de trouver une preuve de l'existence de Dieu qui rappelle en plus raffiné le "preuve de "Saint Anselme . Comme toute preuve de l'existence de Dieu, elle un peu spécieuse (Par définition Dieu a toutes les qualités. S'il n'a pas d'existence il lui en manque clairement une. Donc Dieu existe!). Il faut savoir que Gödel s'intéressait aux mystiques comme Sainte Catherine Emmerich et aux pères de l'Eglise tels que Grégoire Palamas). Mais il semble étrange que celui qui a démontré les limites de la logique veuille trancher logiquement la question de Dieu alors qu'il a démontré que dans tout système formel il y a de l'indécidabilité. Sans doute Gödel considérait-t-il son théorème comme un hommage à la raison, tellement puissante qu'elle peut démontrer ses propres limites. Il est possible aussi que les "méthodes systématiques" dont il parle ne reposent pas uniquement sur des démonstrations logiques mais incluent des intuitions rendues possibles par notre "contact direct" (platonicien) avec le monde des vérités qui ne se limiterait pas aux vérités mathématiques.
Ainsi Gödel a essayé de développer cette théologie et cette philosophie scientifique susceptibles d'aborder rationnellement tous les grands problèmes relatifs à la nature humaine, démarche ambitieuse que bien entendu, na pu mener à terme. Il pensait que le darwinisme, qu'il appelait "le mécanisme en biologie" serait réfuté rationnement un jour sous "la forme d'un théorème mathématique montrant que la formation au cours des temps géologiques d'un corps humain par les lois de la physique à partir d"une distribution aléatoire de particules élémentaires est aussi peu probable que la séparation par hasard de l'atmosphère en ses différents composants." De même que Daniel Dennett, Gödel pensait que le darwinisme est un algorithme est un algorithme, donc réfutable. Mais, pour lui, la vie, pour être expliquée nécessite des lois tout à fait différente des lois connues: "je ne crois pas que le cerveau soit apparu de façon darwinienne. En effet, cela est réfutable. Un organisme simple ne peut conduire au cerveau. Je pense que les éléments de base de l'Univers sont simples. La force de vie est un élément primitif de l'Univers et elle obéit à certaines lois d'action. Ces lois ne sont ni simples ni mécanistiques. Le darwinisme n'envisage pas de lois holistiques mais repose sur des particules et des lois simples. Or la complexité des organismes vivants doit être présente dans les éléments de base ou dans les lois." Il doit donc exister des lois de l'évolution autrement plus complexes que celles actuellement connues. Gôdel était dualiste et dans le domaine de l'esprit aussi, il s'agit d'une question empirique, donc prouvable. "L'esprit et la matière sont deux choses différentes. [...] C'est une possibilité logique que l'existence d'un esprit séparé de la matière soit une question testable. [...] Il se pourrait qu'il n'y ait pas assez de cellules nerveuses pour accomplir toutes les fonctions de l'esprit." Pour toutes ces références, voir Hao Wang un des rares confidents de Gödel dans son ouvrage.
Gödel, qui était très cohérent, a donc cherché à faire en biologie et en neurologie ce qu'il a fait en logique: bâtir un théorème montrant l'incomplétude des approches réductionnistes. Son "credo" montre également qu'il croyait en en la vie après la mort. "Le monde n'est pas chaotique et arbitraire mais, comme le montre la science, la plus grande régularité et le plus grand ordre règnent règnent partout. L'ordre est une forme de rationalité. la science moderne montre que notre monde [...] a eu un commencement et aura très probablement une fin. Pourquoi alors ne devrait-il y avoir que cet unique monde ici?... Ainsi, pour Gödel, il est logique de déduire de l'observation du monde que l'essentiel de notre développement s'effectuera après la mort. Il était aussi très critique envers les religions, mais il considérait la religion positivement, faisant sans doute référence à la possibilité d'établir une synthèse théologique utile à l'humanité comme celle qu'il a essayé de bâtir. Il considérait ses efforts de rationalisation de la religion comme "rien d'autre qu'une présentation intuitive et une "adaptation" à notre mode de pensée actuel de certains enseignements théologiques, prêchés depuis deux mille ans, mais qu'on a mélangés avec beaucoup de bêtises."
La pensée de Gödel est très complexe et toutes les idées qu'on vient de voir sont issues de citations et sont argumentées, mais elle restent tout de même des spéculations. Ce qu'il a démontré, c'est la transcendance (opposé à immanence) de la vérité par rapport à la notion de démonstration et le fait qu'on puisse avoir accès à des vérités non démontrables dans un système donné. Cela donne certainement crédibilité à tous ceux qui disent avoir été en contact direct, hors de toute démonstration, avec un "monde des vérités mathématiques": Andrew Wiles, Alain Connes, Roger Penrose, Gödel et beaucoup d'autres... et cela permet de penser que qu'il existe bien une voie rationnelle permettant de rentrer en contact avec le monde de l'esprit.
Gödel et ses théorèmes: philisto.fr -La philosophie de Kurt Gödel
canal-u.tv/video -LES THÉORÈMES DE GÖDEL : FIN D’UN ESPOIR ?
podcastscience.fm -les théorèmes d'incomplétude de Gödel
wikipedia.org -Théorèmes d'incomplétude de Gödel
laviedesidees.fr -Kurt Gödel aux frontières de la raison : des théorèmes aux théo-rêves...
jutier.net -Le théorème de Gödel (un énoncé simplifié)
villemin.gerard.free.fr -Incomplétude & limites mathématiques et philosophiques
patriceweisz.blogspot.fr -Dieu n'est pas phénoménal: la preuve ontologique de Gödel
perso.ens-lyon.fr -Les théorèmes d’incomplétude de Gödel (démonstration)
pauljorion.com -Le mathématicien et sa magie: théorème de gödel et anthropologie des savoirs
noesis.revues.org -Gödel : des théorèmes d’incomplétude à la théorie des concepts
uip.edu -Y a-t-il un seul poème moderne qui soit comparable au théorème de Gödel?
staune.fr -Poésie d’un théorème
pourlascience.fr -Gödel déchiré Dans les années 1940-1950
Quelques liens sur la logique:
wikipedia.org -système formel wikipedia.org -logique mathématique
wikipedia.org -Axiome wikipedia.org -Cohérence (logique)
wikipedia.org -Décidabilité
Autres liens:
wikipedia.org -histoire des mathématiques
Fondement des mathématiques et Philosophie des mathématiques
wikipedia.org -Programme de Hilbert
thomassonjeanmicl.wordpress.com -le programme de Hilbert et les indécidables
mi.sanu.ac.rs -LE PROGRAMME DE HILBERT Kosta Do sen
Gödel et le tambour de Dada -En 1930 lors d'un colloque à Königsberg
blogs.mediapart.fr -Gödel le génie, la folie, la vie
abebooks.co.uk -A Journey logique: De Godel à la philosophie
staune.fr -Résumé et commentaire de "Les Ombres de l’Esprit" de Roger Penrose
Remarque: Le théorème d'incomplétude de Gödel ne dit pas qu'il est impossible de réaliser un tel système selon l'esprit du programme de Hilbert. La complétion de la théorie de la démonstration a permis de clarifier la notion de cohérence, qui est centrale dans les mathématiques modernes. Le programme de Hilbert a lancé la logique sur une voie de clarification. Le désir de mieux comprendre le théorème de Gödel a permis le développement de la théorie de la récursion et la clarification de la logique. Cette dernière est devenue une discipline à part entière dans les décennies de 1930 et de 1940. Elle forme le point de départ de ce qui est aujourd'hui appelée l'informatique théorique, développée par Alonzo Church et Alan Turing.
3) conclusion.
Pour conclure ces articles sur le problème de la conscience, on peut dire que le dualisme, l'idée que la conscience n'est pas produite par le cerveau, est corroborée par l'existence probable d'un lien entre l'esprit humain et le monde "éternel" des vérités mathématiques. Si ce contact existe, il est plus probable qu'il soit possible parce que la conscience n'est pas en totalité immergée dans le temps et l'espace comme nous l'avons vu dans l'article 14-2) avec les expériences de Benjamin Libet, plutôt que parce qu'une conscience "produite par le cerveau" aurait trouvé le chemin de ce contact. En d'autres termes comme le dit Jean Staune en conclusion du chapitre, "cela conduit à penser que l'esprit qui nous anime n'est pas uniquement un produit de l'activité neuronale, même s'il ne peut pas s'exprimer sans l'aide de celle-ci. Le dualisme redevient une hypothèse acceptable, et cela au strict plan de la rationalité scientifique, surtout depuis que des modèles montrant comment l'esprit pourrait agir sur le cerveau sans violer les lois de la physique ont été élaborés.
Dans le prochain article nous aborderons les chapitres de conclusion de ma lecture du livre "notre existence a-t-elle un sens?": "Une nouvelle approche de la science" et "science et sens, raison et religion".
lien: staune.fr -Résumé et commentaire de "Les Ombres de l’Esprit" de Roger Penrose
Une des démonstrations du théorème de Gödel les plus accessibles est la version qu'en donne Roger Penrose. Voir "Les ombres de l'esprit" p. 66-68.
En simplifiant, Gödel procède ainsi: "Dans un système d'axiomes dont on peut montrer qu'il est cohérent, (ce qui veut dire qu'on ne peut pas en déduire une proposition incohérente, ou contradictoire), il parvient à bâtir une proposition qui dit qu'il n'existe pas de démonstration d'elle-même appartenant au système en question. Cela est vrai (car si une telle démonstration existait, le système serait incohérent car il contiendrait une contradiction...Mais justement indémontrable dans le système ne question. Et dans tout système, on pourra bâtir uns proposition de ce type dont nous saurons (intuitivement) qu'elle est vrai, mais qui ne sera pas démontrable dans le système concerné."
penseurs: Andrew Wiles Fermat. Alain Connes Roger Penrose Gödel David hilbert Alan Turing.
Changeux Peano Bertrand Russell John Von Neumann Euclide Alonzo Church
Sainte catherine Emmerich Hao Wang
https://oksanaetgil.wordpress.com/category/peinture/
https://monblogdereflexions.blogspot.com/2012/06/mes-liens-pour-les-articles-existence-t.html#.YCWURmhKiWt Mes liens pour les articles "notre existence a t-elle un sens?"
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